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第2课时　求一元二次方程的近似根
●复习导入　问题1：你能说出一元二次方程x2－3x－4＝0与二次函数y＝x2－3x－4的关系吗？
答：一元二次方程x2－3x－4＝0的根是二次函数y＝x2－3x－4的图象与x轴交点的横坐标．
问题2：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点是(－1，0)，(3，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为__x1＝－1，x2＝3__．
我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【教学与建议】教学：通过复习理解体会二次函数与一元二次方程的关系，同时又训练了学生数形结合的能力．建议：利用二次函数图象与x轴的交点求一元二次方程的近似根．
●置疑导入　如何利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x＝2的近似根？
方法一：(1)原方程可变形为__x2＋2x－2＝0__ ；
(2)用描点法作二次函数__y＝x2＋2x－2__的图象；
(3)观察估计二次函数__y＝x2＋2x－2__的图象与x轴的交点的横坐标．由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在__－3__与__－2__之间，另一个在__0__与__1__之间，分别约为__－2.7__和__0.7__；
(4)确定方程x2＋2x－2＝0的解：由此可知，方程x2＋2x－2＝0的近似根为x1≈__－2.7__，x2≈__0.7__.
方法二：(1)用描点法作二次函数y＝x2＋2x的图象；
(2)作直线y＝2；
(3)观察估计抛物线y＝x2＋2x和直线y＝2的交点的横坐标；由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在__－3__和__－2__之间，另一个在__0__与__1__之间，分别约为__－2.7__和__0.7__；
(4)确定一元二次方程x2＋2x＝2的解：由此可知，方程x2＋2x＝2的近似根为x1≈__－2.7__，x2≈__0.7__．
【教学与建议】教学：给学生独立思考的时间，再小组议论，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识．建议：以探究的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题．
*命题角度1　利用函数图象估算方程的根
理解函数图象与方程的根之间的关系，数形结合，利用夹逼法逐步得方程的近似根．
【例1】下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项正确的是(C)
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72
　　A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0
C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.4
【例2】如图，点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解可能是(D)
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
　　　
*命题角度2　利用图象解一元二次不等式
利用数形结合思想，抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标为正，所对应x的所有值是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分所有点纵坐标为负，所对应x的所有值是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
【例3】如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是(C)
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4
C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【例4】如图，直线y＝－x与抛物线y＝－x2＋6交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)－x2＋6＞－x的解集为________；
(3)－x2＋6＜－x的解集为________．
解：(1)A(6，－3)，B(－4，2)；
(2)－4＜x＜6
(3)x＜－4或x＞6
高效课堂　教学设计
1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解．
2．掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的近似根．
▲重点
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
▲难点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
你能利用二次函数的图象(如图①②③)估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1)
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
　　【方法指导】由图象可知，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．从上表可知，当x取－4.4和－4.3时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根．由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3.因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3，同理可得另一个根x＝2.3.
【归纳】利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤：①观察图象，判断方程的根的大致范围；②准确估算自变量多取一位小数的若干函数值并列表比较；③借由表格判断方程的近似根．
【探究2】
教材P54“做一做”
(1)利用二次函数的图象(如图)求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．
x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
　　(2)你还能利用下图求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？
解：x1＝－4.7，x2＝2.7.
【归纳】利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根可以借助抛物线y＝x2＋2x－13与x轴的交点，也可以借助抛物线y＝x2＋2x－10与直线y＝3的交点等．
◆活动3　开放训练　应用举例
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是(　　)
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06
　　A．6C．6.18【方法指导】本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围，根据表格提供的信息．在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使ax2＋bx＋c＝0.因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个根x的范围是6.18＜x＜6.19.
答案：C
【例2】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．
【方法指导】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示．
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．
先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.
因此，x＝－0.4是方程的一个近似根．同理，x＝2.4是方程的另一个近似根．
◆活动4　随堂练习
课本P55随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P57习题2.11中的T1、T2、T3.
通过情景引入，让学生能够建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，着重让学生动手画图、计算、估值、讨论，让他们有学习数学成功的体验．教学中要相信学生，并为不同层次学生设计、提供展示自己的机会，多给予肯定的评价．

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