资源简介

2　二次函数的图象与性质
第1课时　抛物线的认识
●情景导入　历史一刻，商业大飞机C919首航成功！2023年5月28日，国产大飞机C919顺利抵京，获民航最高礼仪过水门．水门的运行路线是什么样的？这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在，比如投篮时篮球所经过的路线、投掷铅球路线、拱形桥的桥拱等．
　　　　　　　　
以上图片所展示形状的函数的表达式会是怎样的呢？这节课咱们就一块来研究这个问题．
【教学与建议】教学：通过生活中的抛物线，让学生对抛物线产生感性认识，感受到数学的应用价值．建议：引导学生进行思考、分析．
●复习导入　1.一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成__y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)__的形式，则称y是x的二次函数.
2．下列函数中，二次函数有__(3)，(4)，(5)，(6)__．
(1)y＝；(2)y＝2x－1；(3)y＝3x2＋x；(4)y＝3x2＋2；(5)y＝－x2；(6)y＝x2.
3．用描点法画函数图象的一般步骤是__列表、描点、连线__．
4．回顾反比例函数图象的具体画法(观看课件)．
【教学与建议】教学：复习导入，加深对二次函数基本概念的理解．建议：可以让学生积极动脑，开阔思路．
*命题角度1　二次函数y＝±x2的图象和性质
二次函数y＝±x2的图象是一条过原点的抛物线，利用数形结合思想理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最大值或最小值等．
【例1】已知抛物线y＝x2经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系正确的是(C)
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【例2】已知二次函数y＝－x2，当x>0时，y随x的增大而__减小__.
*命题角度2　点的坐标与函数表达式的关系
已知函数表达式，可以通过代入求值的方法确定点的坐标；反过来，已知点的坐标也可以通过代入求值的方法求出表达式中的字母的值．
【例3】若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，－2) D．(4，－2)
【例4】已知点A(－2，m)，B(2，m)，C(5，m－n2)(n≠0)在同一个函数的图象上，则这个函数可能是(D)
A．y＝x B．y＝－ C．y＝3x2 D．y＝－4x2
*命题角度3　给定条件求最值
二次函数一般只有一个最值，但是在给定自变量的取值范围的情况下，最值可能不止一个，可以结合图象确定最大值和最小值．
【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2的最大值是__9__，最小值是__0__．
*命题角度4　二次函数图象与一次函数图象的综合
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条开口向上(下)的抛物线，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线．
【例6】二次函数y＝x2和一次函数y＝－x－2在同一直角坐标系中的大致位置是(D)
【例7】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)
高效课堂　教学设计
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．
2．掌握利用描点法作二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
3．能作出函数y＝－x2的图象，并能比较它与函数y＝x2的图象的异同．
▲重点
能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
▲难点
猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
在你打篮球或观看篮球比赛时，你是否注意到投篮时篮球的运行路线是什么样的？这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在，比如喷泉流经的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等．
那么图象为以上图片所展示形状的函数的表达式会是怎样的呢？这节课咱们就一块来研究这个问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
画二次函数y＝x2的图象：观察函数y＝x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下面的步骤．
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点：在直角坐标系中描点．
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2的图象．
【归纳】(1)列表时，选取的自变量的值，应以0为中心，左边取－1，－2，－3，右边对应取1，2，3(取互为相反数的一对数)，不要一边多，一边少，不对称；(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错；(3)一定要养成按自变量从小到大的顺序依次描点、连线，连线时必须用平滑的曲线连接各点，不能用折线连接．
【探究2】
二次函数y＝x2的图象，如图．
(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？
(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
【归纳】二次函数y＝x2的图象与性质总结列表如下：
函数表达式 y＝x2
图象 抛物线
开口方向 向上
对称轴 y轴(或直线x＝0)
顶点 (0，0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大
最值 当x＝0时，y有最小值，最小值为0
　　【探究3】
画出二次函数y＝－x2的图象，并与y＝x2的图象进行对比．
二次函数y＝x2与y＝－x2图象及性质的比较：
函数表达式 y＝x2 y＝－x2
图象 抛物线 抛物线
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴(或直线x＝0) y轴(或直线x＝0)
顶点 (0，0) (0，0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y有最小值，最小值为0 当x＝0时，y有最大值，最大值为0
　　◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标；
(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法指导】点A(1，a)代入y＝x2可求a的值，要使△OAP为等腰三角形，当OA为腰或底边时，共3种情形．
解：(1)将点A(1，a)代入y＝x2，得a＝1，
∴点A的坐标为(1，1)；
(2)存在．
①当OP＝PA时，P1(1，0)；
②当OA＝OP时，P2(－，0)，P3(，0)；
③当OA＝AP时，P4(2，0).
◆活动4　随堂练习
1．给出下列四个函数：①y＝x；②y＝－x；③y＝x2；④y＝.当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有(C)
A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个
2．已知a＞1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小关系为__y3＞y2＞y1__．(用“＞”号连接)
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P34习题2.2中的T1、T2.
类比一次函数和反比例函数的图象和性质，结合二次函数的表达式，归纳得到二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，让学生体会数形结合及转化的思想．少数学生对二次函数的图象与性质(开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等)分析不清，导致随着自变量x的变化，函数y的增减情况判断错误．

展开更多......

收起↑