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第2课时　圆周角定理的推论2，3
●悬念激趣　如图，小明同学设计了一个直径测量器，两把标有刻度的尺子在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，两把尺子分别交圆于E，F两点，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，于是她算出了圆的直径为10 cm，你知道她是怎么算的吗？
解：连接EF，因为∠FOE＝90°，在Rt△EOF中，利用勾股定理可以得出EF＝10 cm.
小明的算法表明EF就是直径，那么问题来了：为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径？那么直径所对的圆周角又是多少度呢？我们这节课就来研究这些问题．
【教学与建议】教学：通过实践操作引出90°的圆周角所对的弦是直径这一结论，并进而联想到直径所对的圆周角是直角，为本课的探究打下良好的基础．建议：小明的算法由学生解释，在学生猜出结论后，写出证明过程．
●复习导入　前面我们学习了圆周角定理及其推论，请完成下列问题：
1．图①中，∠α＝__35°__，图②中，∠β＝__120°__；
2．如图③，已知∠ABF＝20°，∠FDE＝30°，则∠r的度数是__50°__．
　　　　
【教学与建议】教学：通过两个简单的练习，复习第1课时学习的圆周角和圆心角的关系．建议：引导学生自行探究，然后集体交流．
*命题角度1　利用圆周角定理的推论求角度
在圆中，直径所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径．构造直角三角形后，求角的度数．
【例1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为(　A　)
A．75° B．72° C．70° D．65°
　　　　　　　
【例2】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BDC＝20°，则∠ABC＝__70°__.
*命题角度2　利用圆内接四边形的性质求角度
圆内接四边形的对角互补．辨认或构造圆内接四边形，利用对角互补的性质进行计算．
【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小为(　B　)
A．50° B．60° C．80° D．120°
　　　　　　
【例4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为__40°__．
*命题角度3　综合应用圆周角定理及其推论进行计算
在圆中，利用弦、弧转化圆周角和圆心角，进而解决直角三角形及四边形中相关边角的问题，从而构造需要的条件进行解题．
【例5】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点．若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为__2__．
【例6】如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：(1)连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠AFD＝180°－∠CFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
高效课堂　教学设计
1．掌握圆周角定理的推论2，3，会熟练运用这两个推论解决相关问题．
2．掌握圆内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用．
▲重点
圆周角定理的推论2，3及圆内接四边形性质的应用．
▲难点
理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，小明同学设计了一个直径测量器，两把标有刻度的尺子在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，两把尺子分别交圆于E，F两点，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，于是她算出了圆的直径为10 cm，你知道她是怎么算的吗？(连接EF，因为∠FOE是90°，在Rt△EOF中，利用勾股定理可以得出EF＝10 cm)
小明的算法表明EF就是直径，那么问题来了：为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径？那么直径所对的圆周角又是多少度呢？我们这节课就来研究这些问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
圆周角定理的推论2
问题1：如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？
【方法指导】因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝90°.
【归纳】直径所对的圆周角是直角．
问题2：反过来，如图，圆周角∠BAC＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
【方法指导】连接OB，OC.∵圆周角∠BAC＝90°，∴圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，所以BC是⊙O的一条直径．
【归纳】90°的圆周角所对的弦是直径．
【探究2】
圆周角定理的推论3
圆内接四边形的概念：
四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆(课件出示)．
教材P82“议一议”：如图①，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
学生回答：∠BAD＋∠BCD＝180°.并说明理由：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
　　　　　
【思考】如图②，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
学生小组交流后得出结论：∠BAD与∠BCD之间的关系还成立．∠BAD＋∠BCD＝180°或∠BAD与∠BCD互补．
【归纳】圆内接四边形的对角互补．
【探究3】
教材P82“想一想”
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
学生回答：∵∠A＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE.
【归纳】圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则∠BCD等于(　　)
A．140° B．110° C．70° D．20°
【方法指导】由圆周角定理可求得∠A＝∠BOD＝70°，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠C＝180°－∠A＝110°.
答案：B
【例2】圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，求四边形各内角的度数．
【方法指导】可由圆内接四边形对角互补列方程求角的度数，由∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，再由∠A与∠C是圆内接四边形的对角，得∠A＋∠C＝180°，于是求出x，进而求出四边形各内角的度数．
解：设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，
∴∠A＋∠C＝8x＝180°，解得x＝22.5°，
∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，
则∠D＝180°－∠B＝180°－67.5°＝112.5°，
∴四边形ABCD各内角的度数分别是∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝112.5°.
◆活动4　随堂练习
课本P83随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P83习题3.5中的T1、T2、T3.
通过活动设计的引导性问题，引导学生积极地去观察图形并思考，使学生主动地参与知识的形成，又能让学生体验获得新知的快乐，更有助于提高学生的能力．

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