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6　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质
●情景导入　“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝，能不忆江南？”是《忆江南》里面的名句. “日出江花红胜火”是“旭日东升”的一种真实写照．
　　　　
想一想：(1)当太阳逐渐升起时，地平线与太阳的位置关系发生了怎样的变化？ (2)如果把地平线看成直线，太阳看成圆，那么直线和圆有几种位置关系呢？ (3)在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现钥匙环在移动的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
【教学与建议】教学：以古诗创设情景引入新课，用数学的视角观察生活，提出问题并尝试解决．建议：用数学的眼光观察日出，总结能发现什么．
●复习导入　
问题1：平面内，点与圆的位置关系有：__点在圆内__、__点在圆上__、__点在圆外__.
问题2：如图，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，完成下面填空：
(1)点A在__圆外__ d__>__r;
(2)点B在__圆上__ d__＝__r;
(3)点C在__圆内__ d__<__r.
如果把点换成直线，那么直线和圆又会有哪些位置关系呢？
(教师板书课题)
【教学与建议】教学：通过回顾点和圆的三种位置关系，起到温故知新的作用，同时为后面类比得出直线和圆的位置关系埋下伏笔．建议：学生口答完成，互相交流补充.
*命题角度1　判断直线和圆的位置关系
通过计算并比较圆心到直线的距离d与半径r，可以判断直线和圆的位置关系．
【例1】在平面直角坐标系内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为(　D　)
A．0C．4【例2】如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是__相交__．
*命题角度2　利用切线的性质进行计算
切线的计算主要是构建直角三角形，应用勾股定理、三角函数等，同时结合全等三角形、相似三角形，从中寻找相对应的等量关系建立等式或方程，解决相关的求线段的长度或角度问题．
【例3】如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为(　B　)
A．2 B． C． D．
　　　　　　　
【例4】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，则弦BC的长为__2__．
*命题角度3　切线的综合应用
由圆的切线得到直角，通过直角三角形进行相关的计算，也可以利用转化的条件(角的关系)构造直角三角形和全等三角形，进而充分利用相关定理进行计算．
【例5】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，连接AC，过点C作⊙O的切线MN交射线AD于点E.
(1)求证：AE⊥MN；
(2)连接BC，若AE＝，AB＝5，求BC的长．
解：(1)连接OC.
∵点C是的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠BAC.
∵∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AE∥OC.
∵MN是⊙O的切线，∴OC⊥MN，∴AE⊥MN；
(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AE⊥MN，
∴∠AEC＝90°＝∠ACB.∵∠EAC＝∠CAB，
∴△AEC∽△ACB，∴＝，即＝.
解得AC＝4(负值已舍去).∴在Rt△ACB中，BC＝＝＝3.
高效课堂　教学设计
1．理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
▲重点
直线与圆的位置关系，运用切线的性质定理解决问题．
▲难点
运用直线与圆的位置关系、切线的性质定理解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
观察三幅照片(出示课件)
想一想：(1)当太阳逐渐升起时，地平线与太阳的位置发生了怎样的变化？(2)如果把地平线看成直线，太阳看成圆，那么直线和圆有几种位置关系呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】直线和圆的位置关系
1．由直线与圆交点的个数判定直线与圆的位置关系．
作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
【归纳】直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．
处理方式：让学生动手操作．一位同学到黑板上去画图，其他同学在练习本上画图，然后找同学根据公共点的个数口答三种位置关系．重点掌握切线和切点的概念．结合图形，理解记忆直线和圆的三种位置关系：
(1)直线与圆有唯一一个公共点 直线与圆相切
(2)直线与圆有两个公共点 直线与圆相交
(3)直线与圆没有公共点 直线与圆相离
2．根据圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小关系确定直线与圆的位置关系．
如图．
【归纳】(1)若d>r，则直线与圆相离；(2)若d＝r，则直线与圆相切；(3)若d【探究2】(多媒体展示)如图，直线CD与⊙O有唯一的公共点A.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系；
(2)直径AB与直线CD是不是一定垂直呢？为什么？
【归纳】切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
几何语言：
∵直线CD与⊙O有唯一的公共点A，
∴CD是⊙O的切线，A是切点．
∵OA是⊙O的半径，
∴CD⊥OA.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P90例1)如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，∴cos A＝＝，
∴∠A＝60°，∴CD＝AC·sin A＝4×sin 60°＝2(cm).
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，
∴当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d【例2】如图，已知⊙O的直径AB的长为4 cm，C是⊙O上一点，∠BAC＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．
【方法指导】连接OC，即可求得∠P＝30°，从而求得OP的长，根据BP＝OP－OB即可求解．
解：连接OC.∵OA＝OC＝AB＝2(cm)，
∴∠BAC＝∠ACO＝30°，
∴∠COB＝∠BAC＋∠ACO＝60°.
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝180°－90°－60°＝30°，
∴OP＝2OC＝4(cm)，
∴BP＝OP－OB＝4－2＝2(cm).
◆活动4　随堂练习
课本P91随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P91习题3.7中的T1、T2、T3.
通过观察、分析、类比点和圆的位置关系，得到直线和圆的位置关系，为讲解直线和圆的位置关系做准备．通过画图，培养学生的动手实践能力以及观察、分析、比较、概括的思维能力．

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