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第2课时　切线的判定
●归纳导入　
1．一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系？
车轮可以看成__圆__形，铁轨可以看成__直线__，两者位置关系是相切．
2．下雨天，转动雨伞，可以发现水珠顺着与伞面边缘相切的直线方向飞出．
【归纳】：过__半径__外端且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．
【教学与建议】教学：结合实际生活中圆与直线相切的例子，体会数学与生活的联系．建议：让学生说出生活中圆与直线相切的其他例子．
●复习导入　活动内容1：回顾直线和圆的位置关系以及切线的性质
1.直线和圆有__三__种位置关系．如何判断？
2.圆的切线__垂直于__过切点的__半径__．
3．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是__OA的长__，直线l和⊙O的位置关系是__相切__.
活动内容2：操作：
1.如图①，A是⊙O上的一点，过点A作⊙O的切线．
2.如图②，AB是⊙O的直径，请分别过点A，B作⊙O的切线．
　　　
通过以上作图过程，我们发现满足怎样条件的直线是圆的切线？如何判断一条直线是圆的切线？
【教学与建议】教学：让学生回顾直线与圆的位置关系，在作图过程中体会判断圆的切线需要的条件，为下一步归纳切线的判定定理做准备．建议：通过具体判断和作图体会如何根据d＝r判断直线和圆相切，从而过渡到切线的判定定理的探究．
*命题角度1　切线的判定
证明切线常用两种方法：(1)当直线与圆没有公共点时，作垂直，证半径；(2)当出现直线与圆的公共点时，连半径，证垂直．
【例1】如图，△ABC的一条边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠B＝90°__．
【例2】如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是⊙O的切线．
证明：连接OC.∵⊙O的半径为3，∴OC＝OB＝3.
又∵BP＝2，∴OP＝5.在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°，∴OC⊥PC.
∵C是⊙O上一点，∴PC为⊙O的切线．
*命题角度2　三角形的内切圆的性质
三角形的内切圆与三角形三边相切，圆心是三角形三条内角平分线的交点．
【例3】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，则⊙O的面积为__π__．(结果保留π)
【例4】⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为____．
高效课堂　教学设计
1．能判断一条直线是不是圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
2．运用切线的判定定理构造直角三角形解决有关问题．
3．会作三角形的内切圆．
▲重点
探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理．
▲难点
探索作三角形内切圆的方法，用尺规作出三角形的内切圆．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系？
提示：车轮可以看成什么图形？铁轨可以看成什么图形？你有没有判定两者位置关系的方法？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α.当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
学生讨论回答：(1)设⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，则d＝r·sin α.当α＝0时，直线l就是直线AB，点O到直线l的距离为0.当0＜α≤90°时，d＝r·sin α，d随∠α的增大而增大．当90＜α≤180°时，d＝r·sin α＝r·sin (180－α)，d随∠α的增大而减小；(2)当d＝r·sin α＝r时，α＝90°，即直线l与直径AB垂直．∵直线l经过点A，∴直线l与⊙O相切．
【归纳】圆的切线应该满足两个条件：(1)过半径的外端；(2)垂直于这条半径．
【探究2】
作圆的切线(教材P92“做一做”)
已知⊙O上有一点A(如图所示)，过点A画⊙O的切线．(多媒体出示)
【方法指导】图中已有经过半径的外端的点A，只要作出垂直于这条半径的直线就是圆的切线．
解：(1)如图，连接OA；
(2)过点A作OA的垂线l，直线l即为所求作的切线．
【探究3】
认识三角形的内切圆(教材P92例2)
已知：△ABC(如图)，求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切．
作法：(1)分别作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I.
(2)过I作BC的垂线，垂足为D.
(3)以I为圆心，以ID的长为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆．
【归纳】和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】给出下列说法：
①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中说法正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法指导】①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故正确；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故正确；③垂直于圆的半径的直线不一定是圆的切线，圆的直径所在的直线也是可以的，故错误；④过半径的外端且垂直于半径的直线才是圆的切线，故错误．综上所述，正确的说法有2个．
答案：B
【例2】如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(　　)
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
【方法指导】连接OA，OB.
∵O是△ABC的内心，
∴AO，BO分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO.
∵EF∥AB，
∴∠AOE＝∠OAB，∠BOF＝∠ABO，
∴∠EAO＝∠AOE，∠FBO＝∠BOF，
∴AE＝OE，OF＝BF，
∴EF＝OE＋OF＝AE＋BF.
答案：C
◆活动4　随堂练习
1．下列图形中不一定有内切圆的是(B)
A．任意三角形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．等边三角形的边长为4，则此三角形内切圆的半径为____．
3．课本P93随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P93习题3.8中的T1、T2、T3.
通过对切线的概念、特征的回顾，类比切线的性质猜测得到切线的判定定理，并根据自己的猜测尝试说明理由，很好地引导了学生对知识的认识，感受了数学的严谨性，在知识和方法上为后面的探究提供了较好的基础．

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