资源简介

*3　垂径定理
●复习导入　我们知道圆是一种特殊的图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
剪一个圆形纸片，请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，从而导入本课时．
【教学与建议】教学：通过复习圆是轴对称图形，再通过折叠初步发现垂直于弦的直径与弦之间的关系．建议：学生分组探究，在动手折叠的基础上进行分析讨论．
●悬念激趣　(多媒体展示)1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，如图，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫拱形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)．
你想知道桥拱的半径是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！(板书课题：*3　垂径定理)
【教学与建议】教学：这一环节主要是让学生在欣赏赵州桥图片的同时，激起学生探究桥拱半径的兴趣．建议：让学生感受古代人的伟大智慧，思索“桥”中的数学问题．
*命题角度1　利用垂径定理求线段的长
垂直于弦的直径平分弦，常常利用弦心距、半弦和半径构成直角三角形求解．
【例1】如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　A　)
A．3 B．4 C．5 D．2.5
　　　　　　　
【例2】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为(　D　)
A．8 B．10 C．4 D．4
*命题角度2　利用垂径定理的逆定理进行推理和计算
垂径定理的逆定理从构造等腰三角形或者直角三角形入手解决线段长度问题．
【例3】
如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(　D　)
A．8 B．10
C．12 D．16
【例4】如图，在半圆O中，直径AB＝4，点C，D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，P为直径上一点，则PC＋PD的最小值为__2__．
*命题角度3　垂径定理的应用
垂径定理的应用主要涉及半径、半弦、弦心距构造的直角三角形的计算．
【例5】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为__25__m.
　　　　　
【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为__(2，6)__．
高效课堂　教学设计
1．理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．
2．通过折叠等操作，经历探索垂径定理及其逆定理的过程．
3．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，培养类比分析、猜想探索的能力．
▲重点
探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．
▲难点
运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，求水面宽AB.
你想知道水面的宽是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
探索垂径定理(多媒体出示)
问题1：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
解：(1)是，对称轴是CD所在的直线；(2)AM＝BM，＝，＝.
【归纳】垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
【探究2】
垂径定理的证明(多媒体出示)
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
(多媒体出示垂径定理的证明)
已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.
求证：AM＝BM，＝，＝.
【方法指导】1.先引导学生分析垂径定理的条件与结论，①条件中的“弦”可以是直径吗？②你是怎样认识结论中的“平分弧”的？2.再让学生在理解定理的基础上画出几何图形，并写出已知、求证．
证明：连接OA，OB，则OA＝OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴＝.
∵∠AOD＝180°－∠AOC，
∠BOD＝180°－∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD，∴＝.
【探究3】
垂径定理逆定理的探索(多媒体出示)(教材P75“想一想”)
问题2：如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
解：(1)是，对称轴是直径CD所在的直线；
(2)AM＝BM，＝，＝.
学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理．
【归纳】垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P75例题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m.求这段弯路的半径．
【方法指导】连接OC，利用垂径定理构造直角三角形求解．
解：连接OC.设弯路的半径为R m，则
OF＝(R－90)m.
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2，解这个方程，得R＝545.
所以，这段弯路的半径为545 m．
【例2】如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径为________．
【方法指导】根据垂径定理，得CM＝DM＝CD＝2.连接OD，设OD＝R，则OM＝8－R.在Rt△OMD中，由勾股定理，得OM2＋DM2＝OD2，∴(8－R)2＋22＝R2，∴R＝.
答案：
◆活动4　随堂练习
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为__5__．
　　　　　　
2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm，则截面圆心O到水面的距离OC是__6_cm__．
3．课本P76随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P76习题3.3中的T1、T2、T3、T4.
让学生在欣赏绍兴石拱桥图片的同时，惊叹古代人的智慧，引起好奇，激起学生探究水面宽度的兴趣．通过折叠等探究活动直观感受相关的对应关系以及相应的条件，在此基础上进行严谨的推理证明，有效地突破重难点，提升学生对知识的理解与掌握．

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