资源简介

*7　切线长定理
●情景导入　如图，PA，PB是⊙O的两条切线．妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了⊙O上的A，B两点处，你帮小蜗牛选择一下，在速度相同的条件下，沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物？
　　　
提问：PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线，如果PA＝PB，那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢？
【教学与建议】教学：通过帮小蜗牛找食物的情景，吸引学生的注意力，引入新课．建议：如图，可以发现PA＝PB这一结论，进而提问：“是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢？”
●置疑导入　上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A可以且只能作一条切线．那么过圆外一点可以作几条切线？它们之间又有什么关系呢？
操作：如图，已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线，可以作几条？你有几种方法？
【教学与建议】教学：操作实践，体验过圆外一点作圆的切线的方法．建议：学生小组合作，尝试作图．
*命题角度1　运用切线长定理进行计算
在运用切线长定理解决实际问题时，往往需要构建直角三角形．
【例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为(　C　)
A．3 B．4 C．5 D．6
　　　　　　
【例2】如图是用一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘摆放而成的，点A为60°角与直尺的交点，点B为光盘与直尺的唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是__6__．
*命题角度2　圆外切四边形的性质
利用圆外切四边形两组对边和相等解决线段与角度的转化．
【例3】如图，⊙O内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为__52__．
【例4】圆外切四边形顺次连接的三边的比是3∶4∶5，四边形的周长是48，则四边形各边的长是多少？
解：由题意，设顺次连接的三边长分别为3x，4x，5x.则有3x＋5x＝4x＋(48－3x－5x－4x).解得x＝3.∴48－3x－5x－4x＝48－36＝12.∴四边形各边的长分别是9，12，15，12.
*命题角度3　切线长定理与判定的综合运用
切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接此线段，先证明是切线，再利用切线长定理计算长度．
【例5】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径r.
解：(1)过O作OE⊥CD于点E.
∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA.
又∵OA为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥BC于点F.
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AD⊥AB，AB⊥BC.
∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF.
又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.
又∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.
在Rt△DFC中，由勾股定理，得
DF＝＝＝12.
∴AB＝12.∴⊙O的半径r是6.
*命题角度4　利用切线长定理构造特殊三角形
由切线长定理可以得到相等的线段，进而得到特殊的图形，如等腰三角形．结合相切与半径，还可以得到直角三角形、矩形等，进而得到边、角的特殊关系．
【例6】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　A　)
A． B．
C． D．2
【例7】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.解答下列问题：
(1)求∠BOC的度数；
(2)求BE＋CG的长；
(3)求⊙O的半径．
解：(1)连接OE，OF，OG.
∵AB，BC与⊙O相切于点E，F，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，OE＝OF.
又∵OB＝OB，∴Rt△OBE≌Rt△OBF(HL).
∴∠OBE＝∠OBF.同理可证∠OCG＝∠OCF.
∵AB∥CD，
∴∠ABF＋∠DCF＝180°.易得∠OBC＋∠OCB＝∠ABF＋∠DCF＝90°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－90°＝90°；
(2)在Rt△BOC中，∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，∴BC＝＝10 cm.
由切线长定理，易得BE＝BF，CG＝CF，∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm；
(3)在Rt△BOC中，由S△BOC＝OB·OC＝BC·OF，
解得OF＝＝＝4.8.∴⊙O的半径为4.8 cm.
高效课堂　教学设计
1．使学生理解切线长定义，探索并证明切线长定理．
2．使学生掌握切线长定理，并能初步运用．
▲重点
理解切线长定理．
▲难点
应用切线长定理解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看．
学生动手操作后发现过圆外一点画圆的切线能画出两条．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
理解切线长(教材P94“议一议”)
教师：请同学们继续思考，在自己所作的图中，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
问题1：这个图形是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？
问题2：在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
【归纳】过圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
【探究2】
切线长定理
已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
求证：PA＝PB.
证明：连接OA，OB.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△POA≌Rt△POB，
∴PA＝PB.
【归纳】过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．
【探究3】
圆的外切四边形的性质(教材P95“想一想”)
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
分析：设四边形ABCD的四条边分别与⊙O相切于点E，F，G，H.
由过点A的切线可知__AE__＝__AH__；
由过点B的切线可知__BE__＝__BF__；
由过点C的切线可知__CG__＝__CF__；
由过点D的切线可知__DG__＝__DH__；
大家想一想，将上面四个等式左右分别相加，我们能得出什么结论？
【归纳】圆外切四边形的两组对边和相等．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P95例题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径．
解：连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r.
在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，
∴AB＝＝＝26.
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF.
又∵∠C＝90°，∴四边形OECF为正方形，
∴CE＝CF＝r，∴BE＝24－r，AF＝10－r，
∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r＝34－2r，
而AB＝26，∴34－2r＝26，∴r＝4，
即⊙O的半径为4.
【例2】如图，⊙O内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．50 B．52
C．54 D．56
【方法指导】由切线长定理，可设AE＝x，DG＝y，则有AH＝x，DH＝y，BE＝BF＝16－x，CF＝CG＝10－y，则四边形ABCD的周长是AB＋BC＋CD＋DA＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝(16＋10)＋(BF＋CF)＋(DH＋AH)＝(16＋10)＋(16－x＋10－y)＋(y＋x)＝26＋26＝52.
答案：B
◆活动4　随堂练习
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)图中共有__3__对相等线段；
(2)若AF＝4，BD＝6，CE＝8，则△ABC的周长是__36__；
(3)若AB＝9，BC＝15，AC＝12，则AF＝__3__，BD＝__6__，CE＝__9__．
2．课本P95随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P96习题3.9中的T1、T2、T3、T4.
通过对比分析得到切线长定理，感受知识的形成过程，强调知识的严谨性和规范性，让学生在积极主动地参与学习的过程中理解、掌握知识．在此基础上通过练习，有针对性地进行落实、巩固，有效突破重难点．

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