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8　圆内接正多边形
●归纳导入　问题1：观察下列图片，每一张图片中有哪一种正多边形？正多边形的定义是什么？正多边形的性质有哪些？
　　　
每条边__相等__，每个角相等的多边形是正多边形．
问题2：观察下列图形，思考图形中正多边形和圆有什么关系？怎样作一个圆内接正多边形？
　　　
【归纳】顶点都在__同一个圆__上的正多边形叫做__圆内接正多边形__，这个圆叫该正多边形的外接圆．
【教学与建议】教学：通过第一组图片使学生回忆正多边形的概念、性质，通过第二组图片的观察，激起学生探索正多边形与圆的兴趣，培养学生观察、思考、总结的能力．建议：在解决问题1的基础上，学生观察图形，归纳圆内接正多边形的定义．
●情景导入　1.我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为157/50＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万亿位．
2．你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个圆内接正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？
【教学与建议】教学：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：研究正多边形和圆的时候，利用在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等、所对的圆周角相等这两个结论解决．
●置疑导入　带领学生动手进行尺规作图．
①作⊙O；
②作直径AD；
③分别以点A，D为圆心，以OA为半径作弧，交⊙O于点F，B，C，E；
④顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA.
观察得出六边形ABCDEF是正六边形，请证明你的结论．
【教学与建议】教学：直接教给学生尺规作正六边形的方法，并引导学生思考作出的图形是什么图形，从而引出圆内接正多边形的概念．建议：先用教师指导步骤作图，再用其他方法作正六边形．
*命题角度1　圆内接正多边形有关的计算
圆内接正多边形每一边都与两条半径组成等腰三角形，中心角为；过中心作边的垂线，可得直角三角形，半径和边心距的夹角为.
【例1】已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(　B　)
A．2 B．1 C． D．
【例2】正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的半径为R，则正六边形的边长为__R__，边心距为__R__，面积为__R2__．
*命题角度2　作圆内接正多边形
要作边数是偶数的正多边形，只要先作出已知圆的两条互相垂直的直径，即得圆内接正四边形，从而可以得到正八边形、正十六边形等．由正六边形可以作出正三角形、正十二边形等．
【例3】如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形．
乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断
(　A　)
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确、乙错误
D．甲错误、乙正确
【例4】如图，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．
解：(1)作直径AC；
(2)作AC的垂直平分线BD交⊙O于点B，D；
(3)连接AD，作AD的垂直平分线交于点M；
(4)用同样的方法分别作出，，的中点E，F，G；
(5)依次连接各分点．
则八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形，如图．
高效课堂　教学设计
1．掌握正多边形和圆的关系．
2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．
4．会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
▲重点
掌握正多边形的概念及正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．
▲难点
将正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
观察上图中美丽的图案，思考下面的问题：
(1)这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能从中找出正多边形吗？
(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作一个正多边形？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各等分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．
教师强调：正多边形的中心指的是其外接圆的圆心，半径指的是其外接圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角．
【归纳】正多边形的有关概念：(1)中心、半径、中心角、边心距；(2)中心、半径、中心角、边心距之间的关系；(3)正多边形的性质：①正多边形的一个内角等于；②中心角：；③正多边形的中心角等于每个外角的度数．
【探究2】
求正多边形的中心角、边长和边心距(教材P97例题)
如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
教师多媒体展示解答过程：
解：连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴△COD为等边三角形，∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，CG＝BC＝×4＝2，
∴OG＝＝＝2.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.
【归纳】正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
【探究3】
1．用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
【方法指导】由于正六边形的中心角为60°，它的边长就是其外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可六等分圆．
图略．
2．用尺规作一个已知圆的内接正方形．
【方法指导】作两条互相垂直的直径即可四等分圆．
图略．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝________．
【方法指导】如图，设O是正五边形的中心，连接OD，OB，则∠BOD＝×360°＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°.
答案：72°
　　　　　　
【例2】若圆内接正六边形的边长为10，则它的边心距为________．
【方法指导】如图，设圆内接正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M，∴正六边形的中心角∠AOB＝60°.
∵OA＝OB，OM⊥AB，∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOM＝30°，∠OAM＝60°，AB＝OA＝10，
∴AM＝AB＝5.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得OM＝＝＝5.
◆活动4　随堂练习
课本P98随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P99习题3.10中的T1、T2、T3、T4.
通过例题巩固有关正多边形的概念，引导学生学会分析问题，感受知识的转化，同时规范地进行解答和计算．在此基础上通过练习，有针对性地进行落实、巩固，有效突破重难点．

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