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4　圆周角和圆心角的关系
第1课时　圆周角定理及其推论1
●情景导入　你喜欢看足球比赛吗？如图，比赛中甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上D处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
　　　
【教学与建议】教学：利用学生感兴趣的足球赛，吸引学生的学习兴趣，同时也为认识圆周角、圆周角定理及其推论的学习做好铺垫．建议：观察分析感知圆心角、圆周角.
●复习导入　活动内容：
问题1：圆心角的顶点在圆心，角的两边与圆相交．
问题2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条__弧__、两条__弦__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
问题3：等腰三角形有什么性质？
问题4：三角形的外角有什么性质？
【教学与建议】教学：巩固圆心角，为引入圆周角做好准备，巩固等腰三角形性质和三角形外角的性质，为证明圆周角定理做好铺垫．建议：4个问题学生口答后及时纠错，补充．
*命题角度1　利用圆周角定理进行角度计算
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半计算圆周角或圆心角度数．
【例1】如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(　B　)
A．30° B．45° C．55° D．60°
　　　　　　　
【例2】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(　A　)
A．50° B．55° C．60° D．65°
*命题角度2　利用圆周角定理的推论进行计算
利用同弧或等弧所对的圆周角相等，可以转换角的位置，计算相关的角度．
【例3】如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC等于(　B　)
A．30° B．35° C．45° D．70°
　　　　　　
【例4】如图，已知⊙O的半径为1，弦AB，CD的长度分别为和1，则弦AC，BD所夹的锐角∠AEB的度数为__75°__．
*命题角度3　与圆周角相关的分类讨论
求一条弦所对的圆周角，圆周角的顶点可以在这条弦所对的优弧上，也可以在这条弦所对的劣弧上．
【例5】在直径等于16 cm的圆内有长为8 cm的弦，则此弦所对的圆周角的度数为(A)
A．60°或120° B．30°或120°
C．60° D．120°
【例6】在⊙O中，一条弦长等于半径，则该弦所对的圆周角的度数为__30°或150°__．
高效课堂　教学设计
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论．
2．认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有关的角相等的重要定理，并能运用这些知识进行有关的计算和证明．
▲重点
圆周角定理及其应用．
▲难点
圆周角定理，证明．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
多媒体出示教材P78图3－14.
问题：图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么不同？它的两边与圆有什么位置关系？
答：∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心；∠ABC的两边与圆相交．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？
　 　 　
【归纳】顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
【探究2】
探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系
画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题：
问题1：你所画的圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？
问题2：通过上述问题，你有何猜想？
学生口答：圆周角是圆心角度数的一半；同弧所对圆周角度数是圆心角度数的一半．
已知：如图，已知∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．求证：∠C＝∠AOB.
证明：圆心O在∠C的一条边上，如图．
∵∠AOB是△AOC的外角，
∴∠AOB＝∠A＋∠C.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠C.
∴∠AOB＝2∠C，即∠C＝∠AOB.
【归纳】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
【探究3】
教材P80“想一想”
如图，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
　　
分析：连接AO，CO，
∵∠ABC＝∠AOC，∠ADC＝∠AOC，∠AEC＝∠AOC，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.
【归纳】推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数．
【方法指导】由OB＝OC，可知∠OBC＝∠OCB，要求∠OBC的度数，可先求出∠BOC的度数，然后利用三角形的内角和定理求解．注意到∠BOC和∠A所对的弧都是，可知∠BOC＝2∠A＝80°.
解：∵∠BOC和∠A所对的弧都是，
∴∠BOC＝2∠A＝80°.
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝50°.
【例2】如图，在⊙O中，A，B，C，D为圆上四个不同点，∠ABD＝20°，＝＝，分别延长BA，CD相交于点P，求∠BPC的度数．
【方法指导】要求∠BPC的度数，因为∠ABD已知，故只需求出∠BDC的度数，然后利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，便可求出∠BPC.而由圆周角定理的推论可知∠BDC＝∠BAC，再由＝＝可求得∠BAC，进而可求∠BPC.
解：∵＝＝，∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°.
又∵∠BDC＝∠BPC＋∠ABD，且∠ABD＝20°，
∴∠BPC＝∠BDC－∠ABD＝60°－20°＝40°.
◆活动4　随堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为(D)
A．20° B．40° C．50° D．80°
　　　　　　
2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝__120__°.
3．课本P80随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P80习题3.4中的T1、T2、T4.
通过射门问题引出圆周角的概念，研究圆周角和圆心角的关系(圆周角定理)，并通过证明圆周角定理，有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．

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