资源简介

9　弧长及扇形的面积
●情景导入　同学们，你参加过田径运动会吗？为什么在田径200 m比赛中，每个运动员的起跑位置不相同呢？
因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧，而他们各自的半径不相等，所以他们的起跑位置不相同．
思考：怎么才能求出弧的长度呢？
【教学与建议】教学：通过运动员赛跑起跑的情景，借此引入新课．建议：以“为什么起点不一样呢？”为问题，引发思考和讨论，引出弧长的计算．
●置疑导入　问题1：如图①，在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域面积是__9π_m2__，这个区域的边缘长是__6π_m__．
(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域面积是__3π_m2__，这个区域的边缘长__2π_m__．
　　　
问题2：将边长为2的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图②)，那么点B从开始至结束所经过的路径的长度为__π__.
【教学与建议】教学：设计有关弧长、扇形面积等方面的简单问题，调动了学生观察思考的积极性，激发学生学习新知识的热情．建议：出示实际生活中的问题，引发学生的思考、分析．
*命题角度1　弧长的计算
求弧长的关键是要知道半径和弧所对的圆心角的度数，利用公式l＝计算．
【例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为(　C　)
A．π B．2π C．3π D．6π
【例2】如图，一块含有30°角的直角三角尺ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置．若BC＝15 cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为__20π__cm.
*命题角度2　扇形面积的计算
求扇形面积的两个公式：①S扇形＝；②S扇形＝lR.据此可解决相关的“知二求一”问题．
【例3】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(　C　)
A．2π B．4π C．12π D．24π
【例4】一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是(　B　)
A．300° B．150° C．120° D．75°
*命题角度3　扇形面积与弧长之间的相互转化计算
不涉及圆心角，对于已知弧长求扇形面积的计算，直接用S扇形＝lR计算．
【例5】已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于____cm.
【例6】如图，将长为12 cm的铁丝首尾相接围成半径为3 cm的扇形，则S扇形＝__9__cm2.
*命题角度4　求阴影部分的面积
观察图形特点，阴影部分是不规则图形转化为规则图形，结合三角形面积、扇形面积公式计算阴影部分的面积．
【例7】如图，点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，的长为π，则图中阴影部分的面积为(　A　)
A.π B．π
C．π D．π＋
【例8】如图，把两个扇形AOB与扇形COD的圆心重合叠放在一起，且∠AOB＝∠COD，连接AC.
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若OA＝3 cm，OC＝2 cm，的长为，的长为π，求阴影部分的面积．
解：(1)∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD.
又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD(SAS);
(2)延长，交OB于点F，设AO交于点E.
易得S△AOC＝S△BOD，S扇形EOC＝S扇形DOF，∴S图形AEC＝S图形BFD.
∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝××3－×π×2＝ (cm2).
高效课堂　教学设计
1．掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．
2．经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养自主探索的能力．
▲重点
会利用弧长及扇形的面积公式解决问题．
▲难点
探索弧长及扇形面积的计算公式，利用公式解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
同学们，你参加过田径运动会吗？为什么在田径200 m比赛中，每个运动员的起跑位置不相同呢？
学生回答：因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧，而他们各自的半径不相等，所以他们的起跑位置不相同．
思考：怎么才能求出弧的长度呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
弧长的计算公式(多媒体出示问题)
如图，某传送带的一个传动轮的半径为10 cm.
(1)传动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)传动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)传动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
【分析问题，总结扇形弧长公式】
因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以传动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；传动轮转n°，传送带上的物品A被传送的距离是转1°时传送的距离的n倍，因此，(1)传动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20π(cm).
(2)传动轮转1°，传送带上的物品A被传送×20π＝＝(cm).
(3)传动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝(cm).
由此总结出扇形的弧长公式为：
在半径为R的圆中，圆的周长是2πR，n°的圆心角所对的扇形的弧长是l＝×n°＝.
【探究2】
扇形面积的计算公式——S扇形＝πR2(多媒体出示问题)
(教材P100“想一想”)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
　　
(1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
【方法指导】解：(1)如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π m2.
(2)如图②，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆的面积是9π m2，1°的圆心角对应的扇形面积是整个圆面积的，即×9π＝(m2)，n°的圆心角对应的扇形面积是n×＝(m2).
【归纳】扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n°为圆心角．
【探究3】
扇形面积的计算公式——S扇形＝lR(多媒体出示问题)
上面已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角对应的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°和半径R有关系，那么l和S之间有什么关系吗？
解：∵l＝πR，S扇形＝πR2，
　πR2＝R·πR，
∴S扇形＝lR.
【归纳】若已知圆心角和半径，选择公式S扇形＝πR2，若已知弧长和半径，选择S扇形＝lR.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P100例1)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)．
解：∵R＝40 mm，n＝110，
∴的长＝πR＝×40π≈76.8(mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
【例2】(教材P101例2)扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．
解：的长＝π×12≈25.1(cm).
S扇形＝π×122≈150.7(cm2).
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
◆活动4　随堂练习
课本P101随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P102习题3.11中的T1、T2、T3、T4.
在结合跑道的弯道问题激发学生兴趣后，再进行相关知识的复习与回顾，更有利于知识的衔接．

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