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5　确定圆的条件
●情景导入　如图，一只黑猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只黑猫最好蹲守在什么位置？
思考：要想同时顾及三个出口，就要满足黑猫所在的点到三个洞口A，B，C的距离相等．
图中A，B，C可以看成△ABC的三个顶点，在三角形的内部能否找到点O，使OA＝OB＝OC呢？这一课我们将通过学习确定圆的条件来解决这个问题．
【教学与建议】教学：以猫抓老鼠这一学生熟悉而又有趣的情景来引入新课，抽象出数学模型，进入新课的学习．建议：可以让几个同学分别扮演猫和老鼠，三只老鼠分别形成不同的三角形，尝试解决问题．
●复习导入　
问题1：过一点可以作__无数__条直线．
问题2：过两点可确定一条直线．
问题3：已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．
问题4：点到圆心的距离__大于__半径时，点在圆外；点到圆心的距离__等于__半径时，点在圆上；点到圆心的距离__小于__半径时，点在圆内．
【教学与建议】教学：通过复习提问学生，为本课探索“经过三点能否确定一个圆”做一个探索策略上的铺垫．建议：问题由学生口答完成．
*命题角度1　确定圆的条件
不在同一直线上的三个点，可以确定一个圆．
【例1】A，B，C是平面内的三点，AB＝3，BC＝3，AC＝6，下列说法正确的是(　B　)
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外
C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外
D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内
【例2】已知A，B两点间的距离为2 cm，则经过A，B两点且半径为2 cm的圆能作__2__个．
*命题角度2　三角形外接圆的应用
三角形外接圆的圆心即为外心，也是三角形三边垂直平分线的交点．
【例3】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列叙述不正确的是(　D　)
A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
　　　　　　　
【例4】如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是(　B　)
A．点P B．点Q C．点M D．点N
*命题角度3　三角形外接圆的相关计算
三角形外接圆计算线段长或计算角度，通常构造直角三角形，利用等角代换解直角三角形，计算或求证．
【例5】如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD.若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为__2__．
【例6】正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正三角形的面积为__27__.
高效课堂　教学设计
1．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三点作圆的方法．
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，进一步体会解决数学问题的策略．
▲重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
▲难点
利用“确定圆的条件”知识解决相关问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
多媒体显示：
小明家有一块已被打碎的圆形玻璃镜子，现欲重新配制一块圆玻璃片，小明准备把碎玻璃片连同这块残片一起拿到玻璃店，这样行吗？你会采用什么方法？
学习完今天的内容，我们就能很容易解决这个问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
过一点作圆
我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆？请动手作图试一试．
【归纳】如图，经过点A可作无数个圆．
　　
【探究2】
作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
解答：在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A，B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，有无数个圆心，所以作出的圆有无数个．如图．
　　
【探究3】
过三点作圆
问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？
解答：如图，当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆．
问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
解答：
如图，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点O满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆．
多媒体展示作图方法步骤．
展示：
作法 图示
1.连接AB，BC.
2.分别作AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O.
3.以点O为圆心，以OB的长为半径作圆．⊙O就是所要求作的圆
　　【归纳】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
【探究4】
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况．
解答：锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外，如图．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　)
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【方法指导】由不在同一条直线上的三点确定一个圆可知，要配到与原来大小一样的圆形玻璃，必须找到圆上的三个点．显然，小明带着去商店的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，图中的4块碎玻璃只有②才能找到符合要求的圆上的三个点，因此所带的玻璃碎片应是第②块．
答案：B
【例2】如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，其边长为6，求这个⊙O的半径．
【方法指导】由图可知，OA就是△ABC的外接圆半径．连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则OD平分AB，AO平分∠CAB.在Rt△AOD中可求OA的长．
解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.
∵△ABC是等边三角形，
∴AO平分∠BAC，且∠BAC＝60°，
∴∠DAO＝30°.
∵OD⊥AB，AB＝6，∴AD＝AB＝3.
在Rt△DAO中，由∠DAO＝30°，得OD＝OA.
由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，
∴OA2＝OA2＋9，
解得OA＝2(负值不符合题意，已舍去)，
∴⊙O的半径是2.
◆活动4　随堂练习
1．三角形有__1__个外接圆．
2．三角形的外心是三角形__任意两边垂直平分线__的交点．
3．如图，已知AB是一条劣弧，请找出它所在圆的圆心．
解：在劣孤上任取三点，作其中两条线段的垂直平分线，交点即为圆心．(图略)
4．如图中工具的MN边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心？
解：将工具任意旋转一个方向，旋转后MN所在直线与前次MN所在直线的交点即为圆心．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P87习题3.6中的T1、T2、T3.
类比作直线的方法，引导学生根据要求画圆，并归纳、总结出确定圆的条件．在探究确定一个圆形纸片的圆心的方法时，学生很有兴趣，但还是有个别学生作图能力较差．

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