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第3课时　多项式乘多项式
●情景导入　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长为a m，宽为m m的长方形绿地，增长了b m，加宽了n m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
学生独立思考，然后讨论交流，展示四种方法．
①(m＋n)(a＋b) ②m(a＋b)＋n(a＋b)
③a(m＋n)＋b(m＋n) ④am＋bm＋an＋bn
由于计算结果表示的是同一个量，因此(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
导入课题：多项式与多项式的乘法．
【教学与建议】教学：由用不同的方法表示扩大后的绿地面积引入新课，能引起学生学习多项式乘法的兴趣．建议：教师再根据学生的讨论情况进行适当的提醒和启发，运用代数的方法解决此题．
●归纳导入　问题：前面我们学习了单项式乘单项式及单项式乘多项式，那么怎么计算形如(a＋b)(m＋n)这样的式子呢？现在我们就来探究一下：
(a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝__am＋an＋bm＋bn__．
让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的__每一项乘另一个多项式的每一项__，再把所得的积__相加__．
【教学与建议】教学：由单项式乘单项式及单项式乘多项式的运算方法，直接归纳多项式乘多项式法则．建议：引导学生分析，把(m＋n)看成一个整体，那么两个多项式相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘．
●命题角度1　直接利用多项式乘多项式的法则进行计算
多项式乘多项式，按一定顺序计算，做到不重不漏，运算中要注意：多项式乘多项式的积仍是一个多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．积中如果有同类项，不要忘记合并同类项．
【例1】计算(x－2)(x－5)的结果为(D)
A．x2＋7x－10 B．x2－7x－10 C．x2＋7x＋10 D．x2－7x＋10
【例2】下列计算错误的是(C)
A．(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4 B．(m－2)(m＋3)＝m2＋m－6
C．(y＋4)(y－5)＝y2＋9y－20 D．(x－3)(x－6)＝x2－9x＋18
●命题角度2　多项式乘法法则的综合应用
利用多项式的乘法将代数式展开，并合理、灵活地运用法则和运算律进行相关的计算．
【例3】已知a＋b＝4，ab＝3，则代数式(a－2)(b－2)的值是__－1__．
【例4】已知x＋y＝5，xy＝2，则(x＋2)(y＋2)＝__16__．
●命题角度3　利用多项式的乘法法则进行规律探究
多项式的乘法展开式中各项的系数与次数有一定的规律，在化简的结果中也往往按照相应的规律进行排序．
【例5】你能化简(x－1)(x99＋x98＋…＋x＋1)吗？遇到这样复杂的问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
(1)分别化简下列各式：
(x－1)(x＋1)＝__x2－1__；
(x－1)(x2＋x＋1)＝__x3－1__；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝__x4－1__；
…
(x－1)(x99＋x98＋…＋x＋1)＝__x100－1__；
(2)请你利用上面的结论计算：299＋298＋…＋2＋1.
解：299＋298＋…＋2＋1＝(2－1)×(299＋298＋…＋2＋1)＝2100－1.
●命题角度4　多项式乘多项式的实际应用
用式子表示图形的长、宽(或长、宽、高)，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决此类问题的关键．
【例6】用如图所示的A类、B类、C类卡片若干张，拼成一个长为(2a＋b)、宽为(3a＋2b)的长方形，则分别需要A类卡片__6__张，B类卡片__2__张，C类卡片__7__张．
【例7】长方形的一边长为3m＋2n，与其相邻的另一边比它长m－n，则这个长方形的面积是__12m2＋11mn＋2n2__．
●命题角度5　关于“不含项”问题
若代数式的值与某字母的取值无关，则代数式中含该字母的项的系数为0.若多项式乘多项式的结果中不含某一项，也说明这一项的系数为0.
【例8】若(x＋a)(x－2)的结果中不含有x的一次项，则a的值为(C)
A． B．－ C．2 D．－2
【例9】若(3x2－2x＋1)(x＋b)的计算结果中不含x的二次项，求b的值．
解：(3x2－2x＋1)(x＋b)＝3x3＋(3b－2)x2＋(1－2b)x＋b.
∵计算结果中不含x的二次项，∴3b－2＝0，∴b＝.
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握多项式乘多项式的法则及其推导过程．
2．能熟练运用多项式乘多项式的法则进行多项式乘法的运算．
▲重点
理解并熟练进行多项式乘法的运算．
▲难点
探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”“符号错”的问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．计算：(1)6x2·2xy2; (2)(2ab)2(－3ab)；
(3)3x·(x2－2x＋1); (4)－2a2·.
解：(1)原式＝12x3y2; (2)原式＝－12a3b3；
(3)原式＝3x3－6x2＋3x; (4)原式＝－a3b－6a2b＋2a2.
2．(出示课件)
利用长方形卡片，选取其中任意两个拼成更大的长方形，尽可能用多种拼法．
　　　
问题1：分别列代数式表示所拼出长方形的面积，你能发现什么？说出其中包含什么运算．
问题2：①②③④四个图形进一步拼摆，会得到更大的长方形，做一做，也许你会有新的发现．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】多项式乘多项式运算
探究(1)：观察组合后的长方形，它的面积与各个小长方形之间的面积有什么关系？
探究(2)：你能尝试用数学式子或用自己的语言归纳、描述多项式乘多项式的运算法则吗？
探究(3)：在进行多项式乘法运算的过程中运用了哪些数学思想方法？与同伴交流．
(m＋b)(n＋a)＝n(m＋b)＋a(m＋b)；
或(m＋b)(n＋a)＝m(n＋a)＋b(n＋a)；
或(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋nb＋ab.
式子的最左边是两个多项式相乘，最右边是相乘的结果，体会将多项式乘法转化为单项式乘法的过程．
【探究2】多项式乘多项式运算法则
教师设置三个层层递进的问题：
1．你能说出(m＋b)(n＋a)＝n(m＋b)＋a(m＋b)这一步运算的道理吗？
2．结合算式(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋nb＋ab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算吗？
3．归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则．
【归纳】多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
可以使用连线法理解法则：
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】计算：(1)(1－x)(0.6－x)；
(2)(2x＋y)(x－y).
【方法指导】直接利用多项式乘多项式法则进行计算．
解：(1)原式＝1×0.6－1×x－x×0.6＋x·x
＝0.6－x－0.6x＋x2
＝x2－1.6x＋0.6；
(2)原式＝2x·x－2x·y＋y·x－y·y
＝2x2－xy－y2.
【例2】某小区的内坝是一块长为(3a＋b) m、宽为(2a＋b) m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【方法指导】根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝(5a2＋3ab) m2.当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(m2)，故绿化的面积是63 m2.
【例3】已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a，b的值．
【方法指导】首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2.因为积不含x2项，也不含x项，所以－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝，所以系数a，b的值分别是，.
◆活动4　随堂练习
1．解方程或不等式：
(1)(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)＝3(x2－7x＋15)；
(2)(x－4)(6x＋7)＞(3x－2)(2x＋5)＋2.
解：(1)x＝；(2)x＜－.
2．若(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．
解：(x＋4)(x－6)＝x2－2x－24，所以a＝－2，b＝－24，所以a2＋ab＝4＋(－2)×(－24)＝52.
3．课本P19随堂练习
4．课本P19习题1.8T1
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2．你掌握了哪些学习数学的方法？需要注意的问题是什么？
【教学说明】梳理本节课的重要方法，加深对多项式乘多项式法则的巩固和应用．
【作业】1.课本P19习题1.8中的T2、T3.2.解方程：(x－2)(x－3)＝(x－1)(x＋4).
本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．

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