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第2课时　平方差公式的综合应用
●归纳导入　问题：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．
(2)根据以上算式，你能寻找出什么规律？
一个数加1乘这个数减1的积等于这个数的平方减1.
(3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．
(a－1)(a＋1)＝__a2－1__．
【教学与建议】教学：通过列举算式的简便运算，激发学生的学习兴趣．建议：教学中教师注意引导、鼓励学生用简便方法计算，引导学生体会用特例进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明这一重要的探索过程．
●复习导入　活动内容1：平方差公式的结构特征
问题1：如图，根据图中的面积关系填空：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
问题2：平方差公式用语言如何叙述？
问题3：平方差公式中的字母可以表示什么？
活动内容2：用平方差公式计算：
(1)(x＋1)(x－1); (2)(－3x－4y)(－3x＋4y)；
(3)(5a2b－1)(1＋5a2b); (4)99×101.
【教学与建议】教学：在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．建议：让学生在黑板上板书计算过程，讲评时教师让学生叙述平方差公式的特征及应用平方差公式的注意事项．
●命题角度1　利用平方差公式进行数字计算
利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．
【例1】用简便方法计算，则98×102变形正确的是(C)
A．98×102＝1002＋22 B．98×102＝(100－2)2
C．98×102＝1002－22 D．98×102＝(100＋2)2
【例2】运用平方差公式简便计算：
(1)69×71; (2)1 007×993.
解：(1)原式＝(70－1)×(70＋1)＝4 900－1＝4 899；
(2)原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＝1 000 000－49＝999 951.
●命题角度2　利用平方差公式整体求值
把相同的代数式看作一个整体，再利用平方差公式求值，注意有些代数值的非负性．
【例3】如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(D)
A．49 B．7 C．－7 D．7或－7
【例4】若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)－3＝0，则a2＋b2＝__2__．
●命题角度3　添项后运用平方差公式
此类题是通过适当添项变形成平方差公式的形式，从而进行简便计算．
【例5】先阅读理解，再解答问题．
如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1.
试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．
解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(316－1)－1
＝.
●命题角度4　利用平方差公式计算图形的面积
图形面积的计算一般是通过分割图形，利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．
【例6】将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为(D)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
【例7】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3 m，东西方向缩短3 m，则改造后长方形草坪的面积与原来正方形草坪的面积相比(C)
A.增加了6 m2 B．增加了9 m2
C．减少了9 m2 D．保持不变
高效课堂　教学设计
1．会利用公式进行计算，掌握平方差公式的一些应用．
2．进一步体会平方差公式的意义，会利用公式解决数学问题．
▲重点
会用自己的语言说明公式的特点及平方差公式的应用．
▲难点
准确理解和掌握公式的结构特征及应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
　　　　　
提出问题：
(1)请表示图①中阴影部分的面积．
S＝a2－b2
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长＝a＋b，宽＝a－b；S＝(a＋b)(a－b)
(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
(4)①叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
②试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.这节课，我们继续用平方差公式来解决数学问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：
发现：①都是乘法算式；②下面数字是上面两个数字之间的中间数，这三个数字是相邻数字；③上面算式结果比下面算式结果小1.
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
比一个数多1和少1的两个数的积，等于这个数的平方去掉1.
(3)请你用字母表示这一规律，并得出结论．
【归纳】(a－1)(a＋1)＝a2－1.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】用平方差公式进行计算：
(1)103×97；(2)118×122
【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算；(2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算．
解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)
＝1002－9
＝9 991；
(2)原式＝(120－2)(120＋2)
＝1202－22
＝14 396.
【例2】用平方差公式进行计算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
【方法指导】(1)可改写成×，利用平方差公式计算；(2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算．
解：(1)原式＝×
＝400－
＝399；
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝168.96.
【例3】计算：
(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；
(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).
【方法指导】综合应用多项式乘单项式(多项式)计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便．
解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4；
(2)原式＝4x2－25－4x2＋6x
＝6x－25.
【例4】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是____________．
　　　　
【方法指导】因为图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
◆活动4　随堂练习
1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是(C)
A．(m－n)(－m－n) B．(－1＋mn)(1＋mn)
C．(－m＋n)(m－n) D．(3m－2)(3m＋2)
2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝(B)
A．1 B．2 C．2或－2 D．4
3．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，高为(2a－3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少．
解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b)
＝(4a2＋9b2)[(2a)2－(3b)2]
＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2)
＝(4a2)2－(9b2)2
＝(16a4－81b4) m3.
答：这个游泳池的容积是(16a4－81b4)m3.
4．课本P22随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.这节课你的主要收获是什么？
2．在学习平方差公式的计算中，我们要会利用平方差公式进行简便计算，灵活利用平方差公式特征来解决问题．
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平方差公式的理解和应用．
【作业】课本P22习题1.10中的T1、T2.
本节课通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性，通过多种形式的演算，让学生理解平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点，用平方差公式来解决问题，多种练习强化训练，教学效果较好．

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