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6　完全平方公式
第1课时　完全平方公式的认识
●情景导入　请同学们探究下列问题：
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖……
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天这(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖；
(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖；
(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖；
(4)孩子们第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数比较，应用减法，即(a＋b)2－(a2＋b2).
[师]我们上一节学了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？
【教学与建议】教学：让学生在创设情境中领会完全平方公式的内涵．建议：将(a＋b)2转化成(a＋b)(a＋b)计算出结果，进一步理解完全平方公式的结构特征．
●归纳导入　自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝__p2＋2p＋1__；
(2)(m＋2)2＝__(m＋2)(m＋2)__＝__m2＋4m＋4__；
(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝__p2－2p＋1__；
(4)(m－2)2＝__(m－2)(m－2)__＝__m2－4m＋4__；
(5)(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；
(6)(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__．
【归纳】两个数的和(或差)的平方等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．
【教学与建议】教学：采用自主探究的教学方法，让学生领会完全平方公式的内涵．建议：学生自主探究，发现公式后教师可进一步要求学生类比平方差公式的验证过程来验证完全平方公式．
●置疑导入　问题：我校在1月份开展卫生评比活动，下面是七年级(1)班和(2)班向学校的申请：
(1)哪位同学能把(1)班与(2)班的要求通过图形画出来呢？
(2)通过图形可发现七年级(1)班与(2)班的要求一样吗？
(3)那么七年级(1)班与(2)班新卫生区的面积如何表示呢？
(4)由此你可以得出什么结论？
(a＋b)2≠a2＋b2.
(5)那么(a＋b)2到底等于什么呢？这就是我们这节课所要探讨的问题．
【教学与建议】教学：让学生分角色对话，结合图形，激发学生探究新知的兴趣．建议：采用一问一答的方式，让学生积极思考，认真完成．
●命题角度1　直接运用完全平方公式计算
完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，口诀记忆为：首平方，尾平方，2倍之积在中央．
【例1】计算(2x－y)2的结果是(A)
A．4x2－4xy＋y2 B．4x2－2xy＋y2 C．4x2－y2 D．4x2＋y2
【例2】计算：(2a＋b)2.
解：(2a＋b)2＝(2a)2＋2·2a·b＋b2＝4a2＋4ab＋b2.
●命题角度2　综合利用运算法则进行计算
整式乘除的法则比较多，准确地掌握各运算法则的结构特征才能灵活运用．
【例3】下列计算正确的是(C)
A．a2·a3＝a6 B．(x＋y)2＝x2＋y2
C．(a5÷a2)2＝a6 D．(－3xy)2＝9xy2
【例4】下列计算错误的是(C)
A．x3÷x2＝x B．a3·a2＝a5
C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
●命题角度3　综合运用乘法公式进行计算
(1)对于三项或三项以上的多项式乘法计算，如果具备乘法公式的特点，仍然可以用平方差公式或完全平方公式；(2)在此变形过程中，要运用加法交换律和结合律，正确添加括号，确定好a和b两项，套用公式计算．
【例5】为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是(C)
A．[x－(3y＋1)]2 B．[x＋(3y＋1)]2
C．[x＋(3y－1)][x－(3y－1)] D．[(x－3y)＋1][(x－3y)－1]
【例6】计算：(x－y－z)2＝__x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz__．
●命题角度4　利用乘法公式化简求值
整式的化简求值问题应注意：(1)运用公式时，括号前是负号的去括号时要注意变号；(2)结果中有同类项的一定要合并同类项．
【例7】先化简，再求值：
(1)(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝，y＝1；
解：原式＝y2－3xy.
当x＝，y＝1时，原式＝12－3××1＝1－1＝0；
(2)(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝.
解：原式＝4ab.
当a＝－2，b＝时，原式＝4×(－2)×＝－4.
高效课堂　教学设计
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算．
2．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．
▲重点
理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算．
▲难点
会用完全平方公式进行计算、推导、猜想等．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．计算：
(1)(m＋2)2；(2)(3＋2x)2.
解：(1)原式＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；
(2)原式＝(3＋2x)(3＋2x)＝9＋12x＋4x2.
2．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：
①__(a＋b)2__，②__a2＋2ab＋b2__，由于这两个代数式都表示该大正方形的面积，所以应相等，即__(a＋b)2__＝__a2＋2ab＋b2__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
问题1：观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋2m＋2m＋4＝m2＋2×2m＋4＝m2＋4m＋4.
(3＋2x)2＝(3＋2x)(3＋2x)＝9＋3×2x＋3×2x＋4x2＝9＋2×3×2x＋4x2＝9＋12x＋4x2.
问题2：再举两例验证你的发现．
问题3：你能用自己的语言叙述公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2吗？
两个数和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数积的2倍．
问题4：你能用图形解释这一公式吗？
(a＋b)2＝ab＋a2＋b2＋ab
＝a2＋2ab＋b2.
两个数和的平方用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
【探究2】(a－b)2＝a2－2ab＋b2
问题1：(a－b)2＝？你是怎样做的？
方法1：(a－b)
＝(a－b)(a－b)
＝a2－2ab＋b2
方法2：(a－b)2
＝[a＋(－b)]2
＝a2＋2a(－b)＋(－b)2
＝a2－2ab＋b2
问题2：分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式．
【归纳】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
结构特点：左边是二项式(两数和或差)的平方；右边是两数的平方和加上(或减法)这两数乘积的2倍．
语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2；(2)(4x＋5y)2；(3)(mn－a)2.
【方法指导】引导学生利用公式特点写出解答过程，规范解答过程．
解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·3＋32
＝4x2－12x＋9；
(2)原式＝(4x)2＋2·4x·5y＋(5y)2
＝16x2＋40xy＋25y2；
(3)原式＝(mn)2－2·mn·a＋a2
＝m2n2－2amn＋a2.
【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【方法指导】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，所以m＋1＝±60，所以m＝59或－61.
【例3】阅读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，通过配方可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19.
问题解决：
(1)填空：(a＋b)2＝(a－b)2＋________；
(2)已知a＋＝6，则a2＋＝________；
(3)已知a－b＝2，ab＝3，分别求a2＋b2，a4＋b4的值．
【方法指导】(1)应用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2来解决；(2)利用a＋＝6，＝a2＋2·a·＋＝a2＋＋2求出a2＋；(3)灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值．
解：(1)4ab　(2)34　(3)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝4＋6＝10，a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2(ab)2＝82.
◆活动4　随堂练习
1．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(B)
A．(a＋b)(a＋c) B．(x＋y)(－y＋x)
C．(ab－3x)(－3x＋ab) D．(－m－n)(m＋n)
2．指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a－1)2＝2a2－2a＋1；(×)
改正：(2a－1)2＝4a2－4a＋1
(2)(2a＋1)2＝4a2＋1.(×)
改正：(2a＋1)2＝4a2＋4a＋1
3．若a＋b＝7，求a2＋2ab＋b2的值．
解：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝72＝49.
4．课本P24随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？
2．应用完全平方公式时，确定a和b，对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、计算2ab时不少乘2.
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对完全平方公式的理解．
【作业】课本P26习题1.11中的T1、T2、T3、T4.
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．

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