资源简介

第2课时　完全平方公式的综合应用
●故事引入(ppt展示故事问题)
解决问题
比较a2＋b2与(a＋b)2的大小？
我们先来计算(a＋b)2：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
当a>0，b>0时，(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab>0.
(聪明的你现在知道答案了吧，阿凡提肯定是不会吃亏的啊)
【教学与建议】教学：利用学生感兴趣的故事引入新课，让学生进一步体会a2＋b2与(a＋b)2的关系，为新课的学习做好铺垫．建议：提示学生可以画图进行分析，得到阿凡提土地的面积为(a2＋b2)m2，巴依老爷土地的面积为(a＋b)2m2.
●复习导入　活动内容1：完全平方公式的结构特征．
问题1：完全平方公式用字母如何表示？
问题2：完全平方公式用语言如何叙述？
问题3：完全平方公式中的字母可以表示什么？
活动内容2：利用完全平方公式计算：
(1)(－3x＋2y)2; (2)(－3x－2y)2；
(3)(x＋3)(x－3)(x2－9); (4)[(a－b)2－(a＋b)2]2.
【教学与建议】教学：通过学生的回顾交流和计算，进一步巩固完全平方公式，熟悉完全平方公式的结构特征．建议：学生口答前面的问题后到黑板上板书活动2的解答过程．
●命题角度1　利用完全平方公式的结构特征求字母的值
完全平方公式是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，根据其结构特征得到字母的值．
【例1】如果x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k的值是(D)
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【例2】若(x－2y)2＝(x＋2y)2＋m，则m＝__－8xy__．
●命题角度2　利用完全平方公式进行简便计算
有些数学计算可使用完全平方公式进行简便运算．
【例3】9.72变形正确的是(D)
A．9.72＝92＋0.72
B．9.72＝92－9×0.7÷0.72
C．9.72＝(10＋0.3)×(10－0.3)
D．9.72＝102－2×10×0.3＋0.32
【例4】计算：.
解：＝＝602＋2×60×＋＝3 602.
●命题角度3　完全平方公式的几何应用
综合应用长(正)方形的面积、周长及完全平方公式计算或证明几何图形．
【例5】如图，长为a，宽为b的长方形的周长为24，面积为28，则a2＋b2的值为(D)
A．140 B．80 C．40 D．88
　　　　　　
【例6】如图，将完全相同的四张长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为(D)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
●命题角度4　利用公式的变形进行代数式的化简和求值
对于不能把a，b的值分别求出来的题目，可以运用完全平方公式的变形式解决这类相关求值题．
【例7】已知a＋b＝－4，ab＝3，则a2＋b2的值为__10__．
【例8】已知有理数m，n满足(m＋n)2＝9，(m－n)2＝1，求下列各式的值．
(1)mn; (2)m2＋n2－mn.
解：(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝9 ①，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝1 ②，
(1)①－②，得4mn＝8，则mn＝2；
(2)①＋②，得2(m2＋n2)＝10，
则m2＋n2＝5，所以m2＋n2－mn＝5－2＝3.
高效课堂　教学设计
1．熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感．
2．能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用．
▲重点
会用完全平方公式进行简便运算．
▲难点
灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
活动内容：很久很久以前，有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里，两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主．国王要赏赐他们，这两个农夫原来各有一块边长为a m的正方形土地，第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b m的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊？”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b m就好了”．
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？”你认为他们的要求一样吗？
大臣们开始讨论这个问题，最后一个聪明的大臣解决了国王的疑惑！
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】进一步理解完全平方公式
(1)在纸上画图进行分析；
　　
(2)农夫1的土地扩大后的面积为(a2＋b2)m2，农夫2的土地扩大后的面积为(a＋b)2 m2；
(3)a2＋b2与(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab不相等．
【探究2】用完全平方公式进行简便计算．
计算：(1)1022；(2)1972.
提出问题：你怎样用完全平方公式进行简便计算？
讨论分析：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，102可以转化成100＋2，197可以转化成200－3.这样都转化成一个整百数加减一个数，再用完全平方公式进行计算．
解：(1)1022
＝(100＋2)2
＝1002＋2×100×2＋22
＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)1972
＝(200－3)2
＝2002－2×200×3＋32
＝40 000－1 200＋9
＝38 809
【归纳】用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化成完全平方公式的模型．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】计算：
(1)(x＋3)2－x2；(2)(a＋b＋3)(a＋b－3)；
(3)(x＋5)2－(x－2)(x－3).
【方法指导】综合利用完全平方公式和平方差公式进行计算，注意公式的合理使用、运算顺序和符号的变化．
解：(1)原式＝x2＋6x＋9－x2
＝6x＋9；
(2)原式＝(a＋b)2－32
＝a2＋2ab＋b2－9；
(3)原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)
＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6
＝15x＋19.
【例2】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()
　　　　　　
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
【方法指导】空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
答案：C
【例3】若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
(1)求＋的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
【方法指导】(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：(1)因为(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，所以x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，所以4xy＝9－1＝8，所以xy＝2，所以＋＝＝＝＝；
(2)因为(x＋y)2＝9，xy＝2，所以(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
◆活动4　随堂练习
1．计算(a＋3b)2－(3a＋b)2的结果是(C)
A．8(a－b)2 B．8(a＋b)2 C．8b2－8a2 D．8a2－8b2
2．正方形原来的边长为a cm，将其边长增加6 cm，则正方形的面积增加了(C)
A．36 cm2 B．12a cm2
C．(36＋12a)cm2 D．以上都不对
3．当a＝b＋3时，代数式2a2－4ab＋2b2的值为__18__．
4．计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y).
解：(1)原式＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝1－4x2＋4xy－y2.
5．课本P27随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.这节课的主要收获是什么？
2．在运用完全平方公式计算时，一定要根据公式的结构特征进行简便计算．
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对本节课知识的理解应用．
【作业】课本P27习题1.12中的T1、T2、T3.
本节课通过“做一做”“试一试”“议一议”等方式让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式，根据完全平方公式、平方差公式的结构特征进行整式的简便运算．让学生通过自主探究和交流学到知识，激发了学生的学习积极性和主动性．

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