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第2课时　多项式除以单项式
●复习导入　活动内容1：同底数幂的除法的运算法则是什么？
活动内容2：计算：
(1)－8a5b3÷(－4a2b); (2)(－3a2b)2÷3a3b2；
(3)2(a＋b)5÷(a＋b)3; (4)(－2ab2c)3÷(－3ab2c)2.
解：(1)原式＝2a3b2；(2)原式＝3a；
(3)原式＝2(a＋b)2；(4)原式＝－ab2c.
【教学与建议】教学：同底数幂的除法与单项式除法是学习多项式除以单项式的基础，为多项式除以单项式作好铺垫．建议：活动内容1由学生口答，活动内容2由学生独立完成．
●类比导入　提出问题：
(1)我们前几天学习了单项式与多项式相乘的法则，请你计算：
(a＋b＋c)m＝__ma＋mb＋mc__．
(2)根据除法的意义，你能描述下面这个式子的意义吗？这个商是多少？
(ma＋mb＋mc)÷m.
【教学与建议】教学：用乘法与除法的意义，归纳得出运算法则．建议：教学时，可以设计成如下环节：根据除法的意义，上面的算式就是要求一个式子，使它与m相乘的积等于ma＋mb＋mc，也就是(　　)·m＝ma＋mb＋mc.因为(a＋b＋c)·m＝ma＋mb＋mc，所以(ma＋mb＋mc)÷m＝a＋b＋c.
●命题角度1　多项式除以单项式
多项式除以单项式的基本思想是“转化”，即把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．
【例1】下列计算正确的是(C)
A．(10x3y4＋15x2y2)÷5xy2＝2x2y2＋3xy
B．(9a2b4－12a3b5－3b4)÷(－3b4)＝3a2＋4a3b
C．4(3x5y2＋7x3y6z)÷2x3y2＝6x2＋14y4z
D．(－21a6b2＋28a4b2)÷(－7a2b2)＝3a2b2－4a2b2
【例2】计算：(x4y＋6x3y2－x2y3)÷3x2y＝__x2＋2xy－y2__．
●命题角度2　逆用多项式除以单项式求解
根据被除式、除式、商式、余式之间的关系：被除式＝商×除式＋余式求解．
【例3】若3x2y2·M＝6x2y4－3x4y2－3x2y2，则多项式M是(A)
A．2y2－x2－1 B．2y2－x2y C．3y2－xy2－1 D．－x8＋x6
【例4】填空：(16x3－8x2＋__4x__)÷(－2x)＝－8x2＋4x－2.
●命题角度3　整式的混合运算
整式的混合运算，首先要确定运算顺序，再确定运算法则．
【例5】计算多项式－2x(3x－2)2＋3除以3x－2后，所得商式与余式两者之和为(C)
A．－2x＋3 B．－6x2＋4x
C．－6x2＋4x＋3 D．－6x2－4x＋3
【例6】计算：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2.
解：原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.
●命题角度4　利用多项式除以单项式的法则进行化简计算
整式的化简计算要严格按照运算顺序和运算法则逐步计算，在混合运算中要慎用运算律．
【例7】先化简，再求值：
[＋·3xy2]÷，其中x＝－2，y＝.
解：原式＝÷
＝÷
＝x6y6－.
当x＝－2，y＝时，原式＝－＝1－＝.
●命题角度5　利用整式的运算解决实际问题
实际问题中用字母表示相关数据可以得到对应的数量关系，在具体的运算中会涉及整式的运算．
【例8】已知长方形的面积是3a3b4－ab2，宽为2b2，那么长方形的周长为多少？
解：长方形的长为(3a3b4－ab2)÷2b2＝a3b2－a，
则长方形的周长为×2＝3a3b2－a＋4b2.
高效课堂　教学设计
1．理解整式除法运算的算法，会进行简单的整式除法运算．
2．经历探索整式除法运算法则的过程，体会在解决问题的过程中转化思想的应用．
▲重点
多项式除以单项式的法则及其应用．
▲难点
对多项式除以单项式进行计算并解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．计算：
(1)－8a7b3c÷(－2a2b); (2)(－6a2b)2÷6a4b2；
(3)4(a＋b)8÷(a＋b)3; (4)(－5ab2c)2÷(－5ab2c).
解：(1)原式＝4a5b2c; (2)原式＝6；
(3)原式＝4(a＋b)5; (4)原式＝－5ab2c.
2．李大爷家有一块长方形的田地，它的面积是9a2＋3a，宽为3a，聪明的你能帮李大爷求出田地的长吗？
长方形的面积＝长×宽，已知面积和宽，从而得出田地的长＝(9a2＋3a)÷3a.
(9a2＋3a)是一个多项式，今天我们来学习多项式除以单项式．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】多项式除以单项式的运算法则
讨论：问题1：计算并回答问题：
(1)d(a＋b)；(2)a·(ab＋3b)；(3)xy(y2－2)；
(4)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？
问题2：对比下列算式和问题1中的算式，它们之间有何关系？尝试计算出结果．
(1)(ad＋bd)÷d＝__a＋b__；
(2)(a2b＋3ab)÷a＝__ab＋3b__；
(3)(xy3－2xy)÷xy＝__y2－2__．
问题3：根据上面问题1和问题2的解答，尝试归纳总结出多项式除以单项式的运算法则．
【归纳】多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】计算：
(1)(6ab＋8b)÷2b; (2)(27a3－15a2＋6a)÷3a；
(3)(9x2y－6xy2)÷3xy; (4)÷.
【方法指导】直接利用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；
(2)原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a＝9a2－5a＋2；
(3)原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；
(4)原式＝－3x2y÷xy＋xy2÷xy－xy÷xy＝－6x＋2y－1.
【例2】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
【方法指导】根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．
解：根据题意，得这个多项式为2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2.
【例3】小明在爬山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为v，所用时间为t2.下山时，小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
【方法指导】行程问题中时间＝，根据公式，上山路程＝下山路程＝vt1＋vt2，然后求下山所用的时间．
解：小明下山所用的时间为÷4v＝vt1÷4v＋vt2÷4v＝t1＋t2＝.
◆活动4　随堂练习
1．下列计算正确吗？
(1)(2x2y－6xy)÷(－4xy)＝0.5x(×)
(2)(6a3b－12a2b2－18ab3)÷(－6ab)＝－a2＋2ab＋3b2(√)
(3)(2x2y－4xy2＋6y3)÷＝－x2＋2xy－3y2(×)
2．长方形的面积是4a2－6ab＋2a，若它的一边长为2a，则它的周长为(D)
A．4a－3b B．8a－6b C．4a－3b＋1 D．8a－6b＋2
3．已知6x3y5与一个多项式的积为24x3y7－18x5y5＋2x·(6x3y3)2，则这个多项式为(C)
A．4y2－3x2 B．4xy2－3x2y
C．4y2－3x2＋12x4y D．4y2－3x2＋6x3y
4．先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 022，y＝2 023.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y＝x－y.当x＝2 022，y＝2 023时，原式＝2 022－2 023＝－1.
5．课本P31随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.这节课学习多项式除以单项式的运算后，你有何感想？
2．在具体应用多项式除以单项式的运算法则时应注意以下两点：
①商为1时，不可漏写；
②可以先确定每一个商的符号，然后写成代数和的形式．
【教学说明】梳理本节课的方法和知识，激发学生兴趣，加深对知识的理解．
【作业】课本P31习题1.14中的T1、T2、T3.
这节课通过类比单项式除以单项式的学习，引导学生归纳出多项式除以单项式的运算法则，通过练习加深学生的理解，并及时反馈信息．教师可引导学生解决问题，培养学生的思维能力．
教师通过设置逆运算的情景引导学生探究法则，学生参与的积极性很高，学习探究中学生表现的欲望也比较强烈．

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