资源简介

5　平方差公式
第1课时　平方差公式的认识
●复习导入　完成下列各题，看谁做得又快又准确：
(1)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__； (2)(x＋1)(x－1)＝__x2－1__；
(3)(1＋2a)(1－2a)＝__1－4a2__； (4)(2x＋y)(2x－y)＝__4x2－y2__；
(5)多项式与多项式相乘，先用__一个多项式的每一项__乘__另一个多项式的每一项__，再把所得的__积相加__．
【教学与建议】教学：设计符合平方差公式条件的计算题，让学生也为本节课的学习做好知识准备．建议：学生动手解答，同时找学生板书过程，强调书写格式的规范．
●归纳导入　计算：
(1)(x＋1)(x－1)＝__x2－x＋x－1__＝__x2－1__；
(2)(m＋2)(m－2)＝__m2－2m＋2m－4__＝__m2－4__；
(3)(2x＋1)(2x－1)＝__4x2－2x＋2x－1__＝__4x2－1__．
观察上述算式，你发现什么规律？计算出结果后，你又发现了什么规律？
思考：你能根据右图中的面积关系说明你发现的公式吗？
发现：(a＋b)(a－b)＝a(a－b)＋b(a－b)
＝a2－b2
【教学与建议】教学：探索、归纳公式和简单运用公式，增强学习信心，培养观察发现，归纳的能力．建议：小组合作，讨论交流．
●命题角度1　利用平方差公式进行计算
利用平方差公式可以更好地进行多项式的乘法运算，严格按照公式的结构特征进行计算．
【例1】计算：(1＋y)(1－y)等于(C)
A．1＋y2 B．－1－y2 C．1－y2 D．－1＋y2
【例2】下列可以运用平方差公式进行运算的是(C)
①(a＋b)(－b＋a)；②(－a＋b)(a－b)；③(a＋b)(－a－b)；④(a－b)(－a－b).
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
●命题角度2　运用平方差公式化简求值
利用平方差公式展开、合并同类项，先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【例3】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5×1－5×4＝5－20＝－15.
●命题角度3　利用平方差公式化简后整体代入计算
逆用平方差公式将多项式写成两个整式乘积的形式，进而整体代入进行计算．
【例4】(1)若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为__1__．
(2)若a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b的值为__1__．
高效课堂　教学设计
1．推导平方差公式，掌握平方差公式的结构特征，并能够运用公式进行简单的运算．
2．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．
▲重点
探索平方差公式的过程．
▲难点
会用平方差公式进行计算．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．回顾整式乘法中多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用字母表示为(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba.
2．老王把一块边长为x m的正方形土地租给老张种植，有一天，老王对老张说：“我把这块地的东边减少5 m，再在北边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”老张一听觉得没有吃亏，就答应了，回到家中，他把这件事对儿子讲了，儿子一听，说：“你吃亏了．”老张非常吃惊，同学们，你能说出这是为什么吗？
理由：(x－5)(x＋5)＝x2－25.
x2－25比原土地面积x2小，所以吃亏了．这节课我们来学习类似(x－5)(x＋5)这样的多项式的乘法公式．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探究平方差公式
计算下列各题：
(1)(x＋2)(x－2); (2)(1＋3a)(1－3a)；
(3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z).
解：(1)原式＝x2－4; (2)原式＝1－9a2；
(3)原式＝x2－25y2; (4)原式＝4y2－z2.
【探究2】归纳平方差公式的特征
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(2)(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；
(3)(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2；
(4)(2y＋z)(2y－z)＝4y2－z2.
问题：观察、分析这组题目，左边的算式具有什么共同特征？右边的结果有什么共同特征？
左边的算式是两个二项式相乘，并且有一项完全相同，另一项互为相反数．右边的结果是乘式中两项的平方差，即(相同项)2－(互为相反数的项)2．
【归纳】平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】利用平方差公式计算：
(1)(5＋6x)(5－6x)；　(2)(x－2y)(x＋2y)；　(3)(－m＋n)(－m－n).
【方法指导】直接用平方差公式计算．
解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2；
(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2；
(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
【例2】利用平方差公式计算：
(1)； (2)(ab＋8)(ab－8).
【方法指导】进一步理解平方差公式，ab在(2)中可以表示一个整式．
解：(1)原式＝－y2＝x2－y2；
(2)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64.
【例3】计算(a－1)(a＋1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＋1的结果是()
A．2a8 B．a16 C．a8 D．a16－1
【方法指导】先观察算式符合平方差公式特点，(a－1)(a＋1)＝a2－1，再用(a2－1)(a2＋1)＝a4－1，(a4－1)(a4＋1)＝a8－1，(a8－1)(a8＋1)＝a16－1，a16－1＋1＝a16，得到结果是a16.
答案：B
◆活动4　随堂练习
1．判断正误，如果错误，应怎样改正？
(1)(－a－b)(a－b)＝－a2＋b2.(√)
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2.(×)
改正：(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2
(3)(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9.(×)
改正：(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9
(4)(3x－1)(－3x－1)＝9x2－1.(×)
改正：(3x－1)(－3x－1)＝1－9x2
2．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
(2)(－3m－0.5xy).
解：(1)原式＝a4－b4；(2)原式＝9m2－x2y2.
3．课本P21随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.本节课你学到了哪些数学知识？平方差公式的结构特征是什么？
2．我们为什么要学习平方差公式，学了它我们能做什么呢？
【教学说明】梳理本节课的方法和知识，加深对平方差公式的理解和应用．
【作业】课本P21习题1.9中的T1、T2.
设置问题情境激发学生探究的兴趣和欲望，带着问题去思考、分析，引入新课的同时有效地调动学生的积极性．
通过对平方差公式结构特征的分析，让学生对平方差公式使用的条件和结论有清晰的认识，有效解决学生理解、认识上的障碍．

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