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第二章 相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、余角和补角
●置疑导入　教师出示教具——剪刀．用剪刀剪纸，刀口自然张开，剪刀张开这一情景可以抽象看成两直线相交，一共形成了几个角？这些角叫什么角？它们有没有特殊的关系？
【教学与建议】教学：用来源于学生身边的物体引起他们的注意力，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边更多的实例，以便理解直线相交，为本节课的学习做好铺垫．
●情景导入　师：同学们，在学习新课之前我们先观看一段视频．
(多媒体播放：2023年3月16日，世界斯诺克球员巡回赛总决赛1/4决赛新闻视频)
(学生非常认真地观看视频，兴趣浓厚、情绪激动．学生看完视频后)
师：在2023年3月16日，世界斯诺克球员精英赛在英国莱斯特开杆，中国选手丁俊晖刚在6红球世锦赛上夺冠，再次出击，丁俊晖极限控球连解6个难点，塞尔比佩服到认输跪杆．他不仅为个人取得了荣誉，更为我们的国家争取了荣誉．因此，同学们要好好学习，以后不仅要为个人争取荣誉，更要为我们的班级、我们的学校、我们的国家争取更大的荣誉！
师：斯诺克台球运动是一项技术性很高的运动，其中包含了很多数学知识．你想知道吗？
生：(充满渴望地齐答)想！
师：本节课我们就共同学习相关的知识．(板书课题：第1课时　对顶角、余角和补角)
【教学与建议】教学：利用相关的台球体育赛事新闻创设情境，吸引了学生的注意力．建议：让学生感受从实际问题中抽象出所要了解的图形的过程，同时在解答问题中形成认知冲突．
●命题角度1　对顶角的识别
对顶角是由两条直线相交构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
【例1】下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(D)
　　　　　　　　　
【例2】观察如图所示的各角，寻找对顶角(不含平角)．
(1)图①中有__2__对对顶角，图②中有__6__对对顶角，图③中有__12__对对顶角；
(2)若有n条直线相交于一点，共有__n(n－1)__对对顶角；(用含n的式子表示)
(3)若有2 023条直线相交于一点，共有__4_090_506__对对顶角．
●命题角度2　利用对顶角的性质进行计算和推理
解这类题的关键是根据图形特征及题目中的已知条件，利用对顶角相等及角的和差，将角的位置关系转化为角的等量关系，再通过代数运算求解．
【例3】如图，两直线相交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则∠1＝__38°__．
【例4】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换).
●命题角度3　利用补角、余角的性质计算
两角之和是90°时，两角互余；两角之和是180°时，两角互补．
【例5】如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是(D)
A．150° B．90° C．60° D．30°
【例6】如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，∠BON＝25°，求∠COD的度数．
解：因为∠BON＝25°，
所以∠AOM＝25°.
因为OA平分∠MOD，
所以∠AOD＝∠MOA＝25°.
因为OC⊥AB，
所以∠AOC＝90°，
所以∠COD＝90°－25°＝65°.
高效课堂　教学设计
1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．理解补角、余角、对顶角的概念和性质，并能解决一些实际问题．
▲重点
理解同一平面内两条直线的位置关系以及对顶角、补角、余角的含义．
▲难点
归纳出余角、补角的性质，并能运用其解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．(出示课件)数学离不开生活，生活中也处处有数学．我们的生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着大量的直线、射线、线段．下面我们就来欣赏一组生活中的图片．
师：同学们有什么发现？
生：这些线有些是平行的，还有些是相交的．
2．问题：(1)我们在七年级上学期学习了直线和直线的表示方法，请在纸上画两条直线，并用字母表示．
(2)与同伴交流你们画的两条直线有什么样的位置关系．
(3)以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类？
直线a与直线b在同一平面内只有相交和平行两种．如图所示：
　　
(4)展示学生所画相交的直线，说明：相交的直线会组成角，这节课我们将学习角的有关知识．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】理解对顶角及性质
自学课本第38页“议一议”部分，并完成以下问题：
讨论交流：问题1：如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴进行交流．
问题2：下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是(D)
问题3：如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？为什么？
【归纳】两条直线相交构成的四个角中，角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角．对顶角相等．
注：对顶角不仅大小相等，而且是具有特定位置关系的角．
【探究2】理解并掌握余角、补角的概念
自学课本第39页“想一想”部分，并完成以下问题：
讨论交流：问题1：什么是补角？什么是余角？互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置有关吗？
问题2：下列说法中，正确的有__①②④⑥__．(填序号)
①已知∠A＝40°，则∠A的余角为50°；
②若∠1＋∠2＝90°，则∠1和∠2互为余角；
③若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2和∠3互为补角；
④若∠A＝40°26′，则∠A的补角为139°34′；
⑤一个角的补角必为钝角；
⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°.
【归纳】如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．
用数学语言表达为：
因为α＋β＝180°(已知)，
所以α与β互为补角(互为补角的定义)．
因为α＋β＝90°(已知)，
所以α与β互为余角(互为余角的定义)．
【探究3】掌握余角、补角的性质
问题：如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2.将图①简化为图②，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1＝∠2.
　　　　　
议一议：在右图②中：
(1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
【归纳】同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．
互为余角及互为补角的性质用数学语言表达：
因为α＋β＝180°，α＋γ＝180°(已知)，
所以γ＝β(同角的补角相等)．
因为α＋β＝180°，δ＋γ＝180°，α＝δ(已知)．
所以γ＝β(等角的补角相等)．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．
【方法指导】利用补角和余角的性质解决问题．
解：设这个角为x°.
根据题意，得180－x＝4(90－x)，解得x＝60.
答：这个角的度数是60°.
【例2】如图，已知∠AOB在∠AOC的内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
【方法指导】根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
解：因为∠AOB与∠COM互补，所以∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠BOC＝180°.因为∠BOC＝90°，所以∠AOB＋∠BOM＝90°.因为OM是∠AOB的平分线，所以∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，所以∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.因为ON平分∠AOC，所以∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.所以∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
◆活动4　随堂练习
1．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2与∠3的关系是(C)
A．互余 B．互补
C．相等 D．以上都不对
2．已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是__29°28′__．
3．已知∠A＝60°，则∠A的补角是它余角的__4__倍．
4．课本P39随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.你这节课的主要收获是什么？
2．对顶角、余角、补角这些概念，可以从几个方面来区分？
【教学说明】梳理本节课的知识点，加深对概念的理解．
【作业】课本P40习题2.1中的T1、T2、T4.
这节课用学生身边的事例呈现教学内容，增强了数学教学的现实性．举生活中的例子，学生能深刻地体会到数学的应用价值．
先让学生独立思考，再让学生动手操作，从中渗透了猜想、验证、归纳等数学思想方法，使学生在探究过程中了解问题解决的过程和方法，在有意义的数学活动中，建构数学知识，理解数学思想方法，学会数学思考．

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