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第2课时　垂直
●情景导入　七年级我们学习了基本的平面图形，认识了线段、角、多边形和圆．昨天我们又学习了两条直线的位置关系，请同学们回顾昨天学习的内容并回答下列问题．
活动内容：
1．两条直线有哪些位置关系？
2．如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？
3．你能举例列出生活中这样的垂直现象吗？
【教学与建议】教学：首先复习一个简单的问题“两条直线有哪些位置关系？”，然后出示图片让学生观察相交的直线和特殊的垂线．建议：教师要引导学生进行思考、分析，发挥学生的主体地位．
●置疑导入　(多媒体出示)回答下列问题．
问题1：同一平面内的两条直线有哪些位置关系？你能找到生活中的一些实例吗？
问题2：同一平面内的两条直线相交，一条直线不动，另一条直线转动时，观察特殊的位置关系．
【教学与建议】教学：引导学生从身边熟悉的图形出发，体会生活中的垂直关系，加深学生对垂直的感性认识．建议：问题2可以实践操作演示，调动学生的参与意识．
●复习导入　问题1：如图①，(1)∠AOC的对顶角是__∠BOD__，这两个角的大小__相等__．
(2)∠AOC的邻补角有__2__个，分别是__∠AOD，∠BOC__．
　　　　　
问题2：如图②，当∠AOC＝90°时，∠AOD＝__90°__，∠DOB＝__90°__，∠BOC＝__90°__，直线AB，CD__互相垂直__．
【教学与建议】教学：复习对顶角、邻补角的相关知识，并由此引出垂线的相关知识．建议：可以先让学生自己表述，然后教师再进行讲解．
●命题角度1　利用垂线的概念求角的度数
根据垂直的概念可以得到90°的直角，再结合对顶角、邻补角求角的度数．
【例1】如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O.若∠1＝145°，则∠3的度数为(C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
　　　　　　　
【例2】如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，则∠2＝__60°__，∠3＝__30°__．
●命题角度2　垂线的画法
①用三角尺作垂线，让三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线；②用量角器画垂线，让量角器的0刻度线与直线重合，已知点位于90度刻度线上，画出90度刻度线所在的直线即可．
【例3】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
【例4】(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
　　　　　　
解：如图所示．
●命题角度3　垂线的基本事实：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
“有且只有”中，“有”指确定性，“只有”指唯一性，“过一点”的点既可以在直线外也可以在直线上．
【例5】下列说法正确的有__①②__．(填序号)
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
●命题角度4　垂线性质的应用
在利用垂线的性质解决生活中“最近，最短距离”的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
【例6】如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段__BN__的长度，这样测量的依据是__垂线段最短__．
【例7】如图是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．
●命题角度5　点到直线的距离
点到直线的距离指过一点作已知直线的垂线，点和垂足之间的线段长度就是这一点到直线的距离．
【例8】如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(D)
A．线段CA的长 B．线段CD
C．线段AD的长 D．线段CD的长
【例9】如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15.
(1)填空：点A到直线BC的距离为________，点B到直线AC的距离为________；
(2)求点C到直线AB的距离．
解：(1)9　12
(2)过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即×9×12＝×15CD，∴CD＝，
∴点C到直线AB的距离为.
高效课堂　教学设计
1．认识垂线，理解互相垂直和垂足的含义，会用符号表示两直线垂直．
2．理解点到直线的距离，通过动手操作活动，探究归纳垂直的有关性质．
▲重点
理解并掌握垂线的性质和点到直线的距离．
▲难点
应用垂线的性质解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？这节课我们将学习垂线的相关概念和性质．
　　
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】垂线的概念(学生自主阅读课本)
讨论交流：问题1：什么是两条直线互相垂直？
问题2：垂线用什么数学符号表示？
问题3：垂直定义的数学语言描述？
【归纳】两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直．
练一练：1.如图所示的两个图中的直线垂直吗？若垂直，则如何表示？
解：①AB⊥CD　②l⊥m
　(第1题图)　　　　　　　　
2．如图，已知四条直线围成一个长方形ABCD，说出图中互相垂直的直线．
解：AB⊥BC，CD⊥BC，AB⊥AD，CD⊥AD.
【探究2】画垂线的方法
做一做：1.借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线．
　
2．如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
3．你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？
　　
【探究3】垂线的性质
讨论交流：问题1：由探究2，你认为过一点有几条直线与已知直线垂直？
问题2：在所有连接直线外一点与直线上各点的线段中，哪条线段最短？
【归纳】①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝55°，求∠EOD的度数．
【方法指导】运用垂线的概念求角度．
解：因为OE⊥AB(已知)，
所以∠EOB＝90°(垂直的定义)．
因为∠BOD＝∠1＝55°(对顶角相等)，
所以∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝90°＋55°＝145°.
【例2】如图，直线AB上有一点C，过点C引两条射线CE，CD，且∠ACE＝31°，∠DCB＝59°，则CE，CD有何位置关系？为什么？
【方法指导】运用垂线的概念判定两直线垂直．
解：因为∠ACE＝31°，∠DCB＝59°，所以∠ECD＝180°－∠ACE－∠DCB＝180°－31°－59°＝90°，所以CE⊥CD.
【例3】如图，已知∠ACB＝90°，即直线AC________BC；如果BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm，那么点B到直线AC的距离等于________，点A到直线BC的距离等于________，A，B两点间的距离等于________.你能求出点C到AB的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流．
【方法指导】运用点到直线的距离，直角三角形面积的计算解决问题．
解：AC⊥BC；点B到直线AC的距离等于4 cm；点A到直线BC的距离等于3 cm；A，B两点间的距离等于5 cm.过点C作AB的垂线段CD，S△ABC＝AC·BC＝AB·CD.所以CD＝2.4 cm，所以点C到AB的距离为2.4 cm.
◆活动4　随堂练习
1．(课本P42“议一议”)你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理吗？
理由：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
2．课本P43随堂练习T1
3．课本P43随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索垂直与垂线段的概念和性质中，我们用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对垂直与垂线段的知识点的理解和应用．
【作业】课本P43习题2.2中的T1、T2、T3.
本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂直的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆．

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