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第2课时　单项式乘多项式
●情景导入　三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a，b，c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
方法一：先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，即__m(a＋b＋c)__元；
方法二：先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即__(ma＋mb＋mc)__元．
两种方法都表示商品的总收入，因此__m(a＋b＋c)__＝__ma＋mb＋mc__．
【教学与建议】教学：教师根据学生的讨论结果m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc进行分析，提供了单项式与多项式相乘的方法．建议：教师要注意引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘．这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想．
●类比导入　1.问题：在有理数的运算中，我们曾利用分配律简化过一些计算问题，如18×＝18×＋18×－18×＝9＋12－15＝6.
2．猜想：也就是一个数与一个代数和相乘，可先用这个数与代数和的每个加数相乘，再求它们的代数和，乘法分配律对于含有字母的代数式也同样适用，因为代数式中的字母所表示的也是数，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
3．验证：这一结论还可以用长方形的面积进行说明．
如图：(1)长方形的长是__a＋b＋c__；
(2)三个小长方形的面积分别是__ma，mb，mc__；
(3)由(1)(2)得出等式__m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc__．
4．体验：2x·(3x2－x－5).
解：2x·(3x2－x－5)
＝2x·3x2＋2x·(－x)＋2x·(－5)__乘法分配律__
＝6x3－2x2－10x__单项式与单项式相乘的法则__
请同学们考虑，怎样叙述单项式与多项式相乘的法则？
【教学与建议】教学：通过构造直观模型，利用“数”与“形”的对比来说明法则的正确性，探索单项式与多项式相乘的乘法法则．建议：学生分组合作探究，如果有困难教师及时点拨．
●命题角度1　直接依据法则进行计算
运用m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc计算，计算的过程中要注意符号的问题，尤其是多项式各项的符号．
【例1】下列计算正确的是(D)
A．(－2a)·(3ab－2a2b)＝－6a2b－4a3b
B．2ab2·(－a2＋2b2－1)＝－4a3b4
C．abc·(3a2b－2ab2)＝3a3b2－2a2b3
D．(ab)2·(3ab2－c)＝3a3b4－a2b2c
【例2】计算：(－3x2)2·(－x2＋2x－1).
解：原式＝9x4·(－x2＋2x－1)
＝－9x6＋18x5－9x4.
●命题角度2　整体代入求代数式的值
灵活利用单项式与多项式的乘法法则，将多项式转化为两个已知整式的乘积的形式，再整体代入．
【例3】已知ab＝2，2b－a＝4，则a2b－2ab2＝__－8__．
●命题角度3　单项式乘多项式相关化简求值问题
按照单项式乘多项式的法则先化简后，再代入求值．符号的确定是解题的关键．
【例4】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
当a＝－2时，原式＝－20×(－2)2＋9×(－2)＝－20×4＋9×(－2)＝－80－18＝－98.
【例5】已知ab2＝－1，求(－ab)(a2b5－ab3－b)的值．
解：原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2.
当ab2＝－1时，原式＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1＋1－1＝1.
●命题角度4　利用单项式与多项式相乘的法则解决一些实际问题
单项式与多项式相乘，实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式与单项式相乘．在计算过程中，注意不要因漏乘造成漏项．
【例6】如果一个三角形的底边长为2x2y＋xy－y2，高为6xy，则这个三角形的面积为__6x3y2＋3x2y2－3xy3__．
【例7】如图是某零件的平面图形状，求这个零件平面图的面积．
解：S＝a(2a＋b)－2b·b＝2a2＋ab－2b2.
高效课堂　教学设计
1．了解单项式与多项式乘法的意义，会进行单项式与多项式的乘法运算．
2．理解单项式与多项式相乘的算理，体会其转化思想、发展学生有条理的思考能力．
▲重点
单项式与多项式的乘法运算．
▲难点
单项式与多项式相乘的运算法则．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．计算：(1)3a2b·2abc·ab2c2；
(2)·(－2m2n)3.
解：(1)原式＝2a4b4c3；
(2)原式＝－2m12n5.
2．在才艺展示中，小颖作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了x m的空白，这幅画的画面面积是多少？
交流：
方法一：先表示出画面部分的长和宽，由此得到画面面积为xm2.
方法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面面积为m2.
利用分配律可得x＝x·bx－x·x，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂乘法的性质得到x·bx－x·x＝bx2－x2，即x＝bx2－x2.
这节课我们来学习单项式与多项式的乘法．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】下列式子如何计算简便：
6×.
解：原式＝6×＋6×－6×
＝3＋2－1
＝4.
问题1：ab·(abc＋2x)及c2·(m＋n－p)等于多少？你是怎样计算的？
解：ab·(abc＋2x)＝ab·abc＋ab·2x＝a2b2c＋2abx；c2·(m＋n－p)＝mc2＋nc2－pc2.
问题2：如何进行单项式与多项式相乘的运算？
【归纳】用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用字母表示：a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad.
练一练：(1)a(a＋1)＝__a2＋a__；
(2)(3x－4)·x＝__3x2－4x__；
(3)a(a－2)＋4a＝__a2＋2a__；
(4)(3a2－a－1)·(－2a)2＝__12a4－4a3－4a2__．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】计算：(1)2ab(5ab2＋3a2b)；
(2)·ab；
(3)5m2n(2n＋3m－n2)；
(4)2(x＋y2z＋xy2z3)·xyz.
【方法指导】单项式与多项式的乘法运算就是利用乘法分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式．
解：(1)原式＝2ab·5ab2＋2ab·3a2b＝10a2b3＋6a3b2；
(2)原式＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(3)原式＝5m2n·2n＋5m2n·3m－5m2n·n2＝10m2n2＋15m3n－5m2n3；
(4)原式＝2x·xyz＋2y2z·xyz＋2xy2z3·xyz＝2x2yz＋2xy3z2＋2x2y3z4.
【例2】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m，下底宽(a＋2b) m，坝高a m.
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【方法指导】(1)根据梯形面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝ m2.故防洪堤坝的横断面面积为 m2；
(2)堤坝的体积V＝×100＝(50a2＋50ab) m3.故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab) m3.
◆活动4　随堂练习
1．下列运算正确的是(C)
A．3x2(5x2－x3)＝15x4－3x6 B．－a(4a－b)＝－4a2－ab
C．－3x(2x2y－3y)＝－6x3y＋9xy D．－2(a－5b)＝－2a＋5b
2．解方程：
2x(7－2x)＋5x(8－x)＝3x(5－3x)－39.
解：x＝－1.
3．先化简，再求值：
x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝3.
解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1，当x＝3时，原式＝9＋1＝10.
4．课本P17随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.本节课学习了哪些知识？
2．领悟到哪些解决问题的方法？
【教学说明】梳理本节课的知识和方法，理解和熟练计算单项式乘多项式．
【作业】课本P17习题1.7中的T1、T2.
本节课通过对简便运算的复习类比小学学过的分配律，思考单项式与多项式的乘法法则，有效地突破重难点．
学生在问题的探究过程中积极主动地思考、交流，思维活跃，对教师的引导理解较好，只需要简单地点拨学生就能理解并掌握．注意充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，不断纠错，提高计算水平．

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