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第2课时　三角形三边的垂直平分线
●情景导入　如图，看这些漂亮的折纸，是多么心灵手巧的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？
【教学与建议】教学：通过漂亮的折纸图片导入课题，为下一步通过折纸来验证三角形三边的垂直平分线相交于一点做好了铺垫．建议：利用折纸作品的对称性导入新课．
●置疑导入　问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议．
【教学与建议】教学：复习问题1，为本节课的学习做知识铺垫，问题2是为了引起学生的学习兴趣．建议：问题1找学生直接说出答案，问题2先让学生画出三边的垂直平分线，再小组讨论猜测平分线的性质．
◎命题角度1　利用三角形的三边垂直平分线的性质求角
利用三角形三边垂直平分线的性质，结合等边对等角、三角形内角和等于180°等知识，求角的度数．
【例1】如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝__25°__．
　　　　　　
【例2】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝__30°__．
◎命题角度2　利用三边垂直平分线的性质求线段长度
根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题．
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为__6_cm__．
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
解：DE＝BF，DE⊥BF.
理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC.
又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△ECD≌△FCB(SAS)，
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.
∵∠CFB＋∠CBF＝90°，
∴∠CED＋∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.
◎命题角度3　三角形三边垂直平分线的交点
锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．
【例5】如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是(C)
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【例6】如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是__锐角__(选填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
◎命题角度4　三角形三边的垂直平分线的应用与作图
三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题．
【例7】如图，A，B，C三个村庄的位置成三角形，现决定在三个村庄之间修建一所学校，使学校到三个村庄的距离相等，则村庄应建在(D)
A.△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
◎命题角度5　几何作图
用尺规作等腰三角形及其底边的垂线其实质都是作线段的垂直平分线．
【例8】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为__105°__．
【例9】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，线段a和h
求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝h.
解：如图所示．
高效课堂　教学设计
1．能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点这一命题．
2．会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形，提高尺规作图的技能．
▲重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形．
▲难点
会用所学知识按要求尺规作图．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(1)尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．
师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(出示课件)
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．
(2)下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
三角形三条边垂直平分线的性质的证明
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．
同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
【探究2】已知等腰三角形的底边及底边上的高，求作等腰三角形．
1．议一议：
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如图所示．
(2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．
注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．
　　 　　
(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图②.
2．尺规作出等腰三角形
如图，已知线段a，h，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.
作法：(1)作线段BC＝a；
(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；
(3)在l上作线段DA，使DA＝h；
(4)连接AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.
(1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；
(2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长为________cm.
【方法指导】(1)∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；(2)∵AB＝AC＝5 cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5 cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5 cm，∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).
答案：(1)70°
(2)8
【例2】如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？(保留作图痕迹)
　　
【方法指导】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可．
解：如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地．
◆活动4　随堂练习
1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是(D)
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三个角的平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了实现村民子女就近入学，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置.
解：作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；②连接BC，作线段BC的垂直平分线M′N′，MN与M′N′交于点P，点P就是所求学校的位置．
4．课本P26随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索三角形三边垂直平分线的性质过程中，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对垂直平分线的性质和尺规作图的进一步理解．
【作业】课本P26习题1.8中的T2、T3、T4.
本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．

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