资源简介

3　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
●情景导入　某小区为了安全管理，准备在A，B两幢楼房之间增加一处节能灯，要求节能灯与两楼之间的距离相等，灯到A，B幢楼所在直线的垂直距离为20 m，你能确定节能灯的位置吗？
【教学与建议】教学：通过学生对生活中一个实际问题的探究，导入本节课题．建议：导入新课后，让学生体会到生活中处处充满数学，然后，回顾旧知识提出新知识．
●置疑导入　问题1：什么是线段的垂直平分线？经过某一条线段的__中点__，并且__垂直__于这条线段的__直线__是线段的垂直平分线．
问题2：如图，在幸福路的同侧有两个村庄A，B，政府部门计划在幸福路边上修建一个储水塔．为了使储水塔到两个村庄一样远，地址应选在何处？小明想到的解决方案是：连接A，B，然后作线段AB的垂直平分线与道路交于点P，点P即为所求的地址，你能解释一下他这样做的理由吗？
【教学与建议】教学：通过复习回顾垂直平分线的定义，然后利用问题自然引出新课．建议：问题1学生口答，问题2学生独立思考后小组讨论．
◎命题角度1　理解线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，注意分析基本图形，读透图形包含的重要信息，解决有关线段相等的问题．
【例1】如图，线段AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，则下列结论一定成立的是(B)
A．ED＝CD B．AD＝BD C．AB＝AC D．BD＝AC
　　　　
【例2】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
◎命题角度2　利用线段垂直平分线的性质求值
线段垂直平分线的性质，先要找准线段垂直平分线上的关键点，再看是否与线段两个端点相连，如果不相连，要把关键点与线段两端点相连，从而找出相等的线段．
【例3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为(B)
A．8 B．11 C．16 D．17
　　　　　　
【例4】如图，已知CD是AB的垂直平分线，AC＝4 cm，BD＝2 cm，则四边形ADBC的周长为__12_cm__．
◎命题角度3　线段垂直平分线的判定
证明一条直线是某线段的垂直平分线，既可以用定义证明，也可以用判定定理证明．
【例5】如图，P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则(D)
A.点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D，
∴∠CFD＝∠A.
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∴点E在AF的垂直平分线上．
高效课堂　教学设计
1．掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．
2．能够利用线段的垂直平分线性质定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
▲重点
垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解和应用．
▲难点
垂直平分线的性质定理及判定定理的证明和应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，这节课我们将继续学习线段垂直平分线的性质．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】线段垂直平分线的性质
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
请用公理或定理求证线段垂直平分线的性质．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．
【探究2】线段垂直平分线的判定
写出线段垂直平分线性质定理的逆命题，并证明．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，
∴AC＝BC，
即点P在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．
∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
即PC⊥AB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
【方法指导】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
同理，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长．
【方法指导】由AD＝AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB.
∵AB＝AC，∴AD＝AC.
∵AD＋AC＝24 cm，
∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.
∵BD＋BC＝20 cm，
∴BC＝12 cm.
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).
即△BEC的周长为28 cm.
◆活动4　随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，BD＝4，则AC＝__5__，CD＝__4__，AD＝__3__．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝__40°__，∠C＝__70°__，∠3＝__30°__，∠2＝__80°__；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝__6__cm，△BCE的周长为__10__cm.
4．课本P23随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．线段垂直平分线的性质定理与判定定理有哪些区别？
【教学说明】梳理本节课的知识和方法，巩固和加深对知识的理解．
【作业】课本P23习题1.7中的T1、T2、T3、T4.
本节课引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，先得出猜想，然后再进行证明．本节课的难点在于探究线段垂直平分线的逆定理，由于设计了小组讨论交流与教师启发引导相结合的环节，使学生能更好地掌握本节课的教学重难点．

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