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第2课时　三角形的三条内角平分线
●情景导入　从前有一个老农，他有一面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？
学习了今天的知识，我们一起来解决这个问题．
【教学与建议】教学：利用帮农民分田的故事导入新课，激发学生的学习兴趣．建议：自由操作后小组讨论方案，待学完本节再讨论更多答案．
●类比导入　1.三角形三边垂直平分线的本质是什么？
2．三角形三个内角的平分线有什么特点．画一画，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？
首先证明“三角形的三条角平分线交于一点”．
用折纸证明、软件演示方式证明．
【教学与建议】教学：类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，提炼数学中的联系，建立认知结构．建议：让学生先观察三角形三个内角的平分线，然后对比三边的垂直平分线的特点，猜想出三角形三条角平分线的特点．
◎命题角度1　尺规作图题
此类题目涉及利用尺规作角平分线，考查学生作图方法的熟练性及对作图原理的领悟．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(a，b)，则a与b的数量关系为(A)
A．a＋b＝0 B．a＋b>0
C．a－b＝0 D．a－b>0
【例2】如图，在直线CD上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．
解：如图，作∠AOB的平分线，交CD于点P，则P就是所求作的点．
◎命题角度2　利用角平分线的性质解决面积问题
此类题目主要考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，作出三角形某一边上的高是解答此类题目的关键．
【例3】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__4∶5∶6__．
　　　
【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作BC的垂线，垂足为点H.若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH的长为__2__．
◎命题角度3　三角形中角平分线的实际应用
三角形内角平分线的交点到三角形三边距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，除了三个内角平分线的一个交点，还有3个两外角平分线的交点．
【例5】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置在(C)
A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在的直线的交点
　　　
【例6】如图，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有__4__处．
◎命题角度4　线段垂直平分线与角平分线性质的综合题
此类题型主要考查的是线段垂直平分线与角平分线的基本性质理解及辅助线的作法，关键点是根据垂直平分线与角平分线的条件想到相关性质，并进行相应的辅助线添加，构建全等，最后进行证明．
【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，连接CE.
(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
∴∠EDA＝90°－25°＝65°；
(2)∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB.
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.
∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(AAS).
∴AE＝AC，ED＝CD.
∴直线AD是线段CE的垂直平分线．
【例8】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB交AB的延长线于点N，PM⊥AC于点M.求证：CM＝BN.
证明：连接PB，PC.
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM＝PN，∠PMC＝∠PNB＝90°.
∵点P在BC的垂直平分线上，∴PC＝PB.
在Rt△PMC和Rt△PNB中，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL).∴CM＝BN.
高效课堂　教学设计
1．会证明角平分线的性质定理和判定定理的相关结论．
2．角平分线的性质定理和判定定理的综合运用．
▲重点
三角形三条内角平分线的性质．
▲难点
综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
出示课件，填一填：
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离__相等__；
(2)在一个角的内部到角的两边距离__相等__的点在这个角的__平分线上__；
(3)三角形三边的垂直平分线相交于__一__点，并且这一点到三个顶点的距离__相等__．
你知道三角形的三个内角平分线的特点吗？这节课我们将学习三角形三条内角平分线的有关知识．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】三角形三条内角平分线性质
每人都准备一张三角形的纸片，让学生把准备好的三角形拿出来，如图，分别折出三个角的平分线，然后观察三条角平分线有什么特点．
发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证，并尝试完成证明过程．试一试．
【例】求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理，PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A的平分线经过点P.
【探究2】比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：
三边垂直平分线 三条角平分线
三 角 形 锐角三角形 交于__三角形内一点__ 交于__三角形内一点__
钝角三角形 交于__三角形外一点__
直角三角形 交于__斜边上的中点__
交点性质 到三角形的__三个顶点__的距离相等 到三角形的__三边__的距离相等
　　◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)
A.1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【方法指导】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．
答案：C
【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
【方法指导】(1)求AC的长，因为AC＝BC，BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根据角平分线的性质定理可知，CD＝DE＝4 cm，可证Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的长度；(2)AB＝AE＋EB，因为AE与AC相等，DE与EB相等，可证得AB＝AC＋CD.
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm.
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.
∵∠C＝90°，∴∠B＝×90°＝45°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45°，
∴BE＝DE＝4 cm.
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得BD＝4 cm，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4)cm；
(2)易证△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC＝AE，CD＝ED.
易得BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
◆活动4　随堂练习
1．到三角形三边距离相等的点是(C)
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是(C)
①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
3．课本P31随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索三角形三个内角平分线的性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对三角形角平分线的性质的理解和运用．
【作业】课本P32习题1.10中的T1、T2、T3、T4.
这节课主要是用类比的教学方法，将旧知与新知以有效的语言表达出来，并用合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围，这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果．通过问题的解决，让学生学会从不同的角度分析问题、解决问题．

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