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第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
1　不等关系
●情景导入　一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00以前驶过A地，车速应该满足什么条件？
教师提问：题目中有等量关系吗？
学生回答：没有．
教师追问：那是什么关系呢？
学生讨论发言：从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到 h，即<.
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶 h的路程要超过50 km，即x>50.这些是不等关系．
【教学与建议】教学：从实际生活入手，激发学生的学习兴趣，同时为引出课题做准备．建议：让学生积极思考汇报成果．师生共同探究．
●归纳导入　我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题．
问题1：识图理解(如图)．
图中的数字代表的意义是__限速50_km，限高4.5_m，限宽3.5_m，限重10_t__．
【归纳】一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
问题2：有一道数学题：“○”“□”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”“□”“△”这样的物体，你能够按质量从大到小的顺序对“○”“□”“△”排序吗？
【教学与建议】教学：利用学生感兴趣的游戏，理解不等式的意义．建议：问题1、2和学生一起讨论，让学生明白，生活中存在着不等的事实．
◎命题角度1　识别不等式
依据不等式的定义，是用“>”“≥”“<”“≤”“≠”等不等号表示不相等关系的式子．
【例1】在下列各式：①－3<0；②3x＋5>0；③x2－6；④x＝－2；⑤x2＋2≥0中，不等式的个数是(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】下列式子：①3>0；②2x＋4>0；③x＝2 023；④x2－x；⑤x≠0；⑥x＋5>x－1，其中是不等式的有__①②⑤⑥__(填序号)．
◎命题角度2　数轴上的不等关系
解决这类问题，关键是弄清楚数轴上的点表示的数的特征，根据实数的运算法则正确判断结果的符号．
【例3】实数a，b在数轴上的对应点如图，则下列不等式中错误的是(D)
A．ab>0 B．a＋b<0 C．<1 D．a－b<0
【例4】如图，a＋b__>__0，ab__<__0，a－b__<__0，__<__0.
◎命题角度3　实际生活中的不等关系
解决这类问题的关键是理解题目中的各个量之间的关系，列出不等关系式．
【例5】某市今年5月份的最高气温为27 ℃，最低气温为18 ℃.已知5月份某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是(D)
A．18【例6】如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸(L的取值范围)是__19.99≤L≤20.01__．
高效课堂　教学设计
1．理解不等式的意义，能根据条件列出不等式．
2．通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力．
▲重点
用不等关系解决实际问题．
▲难点
根据实际问题建立合理的不等关系．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．等式是指__左右两边相等的式子__．
2．猜猜A，B，C谁最重．
__C__最重，理由是__A比B重，C比A重，所以C最重__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】想一想
如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和圆．
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
(3)当l＝8时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12呢？
(4)你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试．
解：(1)()2≤25，即≤25；
(2)π()2≥100，即≥100；
(3)l＝8时，S正方形＜S圆，l＝12时，S正方形＜S圆；
(4)无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积．
【探究2】做一做
(1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式；
(2)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方为测量部位．某树栽种时的树围为6 cm，在一定生长期内每年增加约3 cm，设经过x年后这棵树的树围超过30 cm，请你列出x满足的关系式．
【方法指导】(1)题中不等关系：长＋宽＋高≤160 cm；(2)题中不等关系：栽种时树围＋x年增长树围＞30 cm.
解：(1)根据题意，得a＋b＋c≤160；
(2)根据题意，得6＋3x＞30.
由上述问题解决的过程可得不等式的概念：
【归纳】一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
我们知道等式只有一种符号，就是“＝”，那么不等式共有几种符号？分别怎样读？
不等号共有五种．见下表：
不等号 读法
> 大于
≥ 大于或等于(不小于)
< 小于
≤ 小于或等于(不大于)
≠ 不等于
　　◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】下列数学表达式：①－5＜0；②3x＋4＞0；③x＝2；④x2＋x；⑤x≠－1；⑥x＋3＞x＋6，其中不等式有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【方法指导】由不等式的意义可知①②⑤⑥是不等式，③是等式，④是代数式．
答案：C
【例2】用适当的符号表示下列关系．
(1)x的与x的3倍的和是非负数；
(2)x与y的平方和与它们的和的平方的积至多为10；
(3)x除以5的商加上2不大于5.
【方法指导】列不等式应注意抓住关键词语的含义．(1)中的和是非负数就是大于或等于0；(2)中的积至多为10就是小于或等于10；(3)中不大于5就是小于或等于5.
解：(1)x＋3x≥0；
(2)(x2＋y2)(x＋y)2≤10；
(3)＋2≤5.
【例3】某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过10 m3，则超过的部分每立方米收费2元．小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个月的用水量x(m3)至少是多少？请列出关于x的不等式．
【方法指导】由题意可知，不超过10 m3，就是小于或等于10 m3的每立方米1.5元，10 m3水费为15元，小亮家水费不少于25元，也就是大于或等于25元，水费包括两部分，10 m3水费加上10 m3以上的水费．
解：根据题意，得1.5×10＋2(x－10)≥25.
◆活动4　随堂练习
1．某人的心脏平均每分钟跳动的次数a的正常范围为不少于70次，且不多于75次，则可用不等式表示为(B)
A．702．某公司打算至多用1 000元印制广告单．已知制版费80元，每印一张广告单还需支付0.5元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x(张)满足的不等式为__80＋0.5x≤1_000__．
3．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/(单位/kg) 600 100
　　现在用这两种原料10 kg配制这种饮料，要求至少含有4 200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式．
解：600x＋100(10－x)≥4 200.
4．课本P38随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】这节课大家通过自己的努力和小组的合作，你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互学习，共同提高．
【作业】课本P38习题2.1中的T1、T2、T3、T4.
本节课利用相等关系的知识作基础，学生已经知道用等号连接表示相等关系的式子叫等式，不难给出不等式的定义，从而培养学生总结归纳的能力．借助问题向学生渗透“类比”的数学思想，为以后学习不等式的其他知识奠定思想方法基础．有效地培养学生自主探究的精神，独立思考的能力，合作交流的意识．

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