资源简介

第2课时　直角三角形全等的判定
●复习导入　出示问题：
1．前面我们学习了判定两个三角形全等的方法，方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.
2．通过这些方法我们可以看出判定两个三角形全等时，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以确定这两个三角形全等？(附加一边相等或两边的夹角相等，可以确定这两个三角形全等．)
3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？(如图，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，△ABC与△ABD不全等．)
【教学与建议】教学：通过复习全等三角形的判定方法，利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”，激发学生的求知欲．建议：教师提问，留出足够的时间让学生思考并回答．
●悬念激趣　舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．
【教学与建议】教学：检验两个直角三角形，因为直角边和斜边相等得到两个直角三角形全等，制造悬念，激发学生学习兴趣．建议：可让学生动手操作画图验证，培养学生的创新精神．
◎命题角度1　直角三角形全等的判定
在证明两直角三角形全等时，要首先想到“HL”．至于选择哪种方法证明全等，要以题目条件而定．
【例1】如图，CB⊥AE于点B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，则CF＝__2__．
【例2】如图，已知PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD.求证：OC＝OD.
证明：连接OP.
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).
∴OC＝OD.
◎命题角度2　运用“HL”定理解决问题
HL定理与其他判定定理的最大不同就是，只需找一组直角边和一组斜边相等即可．在某些时候，到底是哪组直角边对应相等需要分类讨论．
【例3】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A同时出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__5或10__时，△ABC与△APQ全等．
【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明．
解：BF⊥AE.
证明如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠CBD＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
◎命题角度3　方格作图问题
在方格中作图要明确方格的特点：(1)每个小方格的边长都是1；(2)出现很多直角．可以利用勾股定理求得图形的边长．
【例5】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为(D)
A． B． C． D．
高效课堂　教学设计
1．熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题．
2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．
▲重点
掌握并利用“HL”定理解决问题．
▲难点
证明“斜边、直角边”(HL)定理的思路的探究和分析．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
填一填：
(1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS、SAS、ASA、AAS__
(2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．
添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA，
添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA；
添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA.
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】做一做(小组合作完成)
如图，已知线段a，c(a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；
(2)在射线CM截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
【探究2】证明定理
请证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．
同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.
∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，两条长度为12 m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
【方法指导】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.
解：BD＝CD.理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴BD＝CD(全等三角形的对应边相等)．
【例2】见教材P20例题．
【方法指导】先根据题意证得Rt△BAC≌Rt△EDF，得到∠B＝∠DEF，再根据∠DEF＋∠F＝90°，通过等量代换得到∠B＋∠F＝90°.
解：根据题意，得
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)，
∴∠B＝∠DEF(全等三角形的对应角相等)．
∵∠DEF＋∠F＝90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F＝90°.
◆活动4　随堂练习
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是(A)
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
　　　
2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是__①②③__．(填序号)
3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)，
∴AB＝AC(等角对等边)，
∴△ABC是等腰三角形．
4．课本P20随堂练习T1
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有哪些收获？
2．探索“HL”定理，用它解决数学问题时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加强对三角形全等的理解．
【作业】课本P21习题1.6中的T2、T3、T4、T5.
本节课得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力．

展开更多......

收起↑