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4　角平分线
第1课时　角平分线的性质定理及其判定定理
●情景导入　有一种蜘蛛网，它的一条主网线是与它相邻的两条主网线构成的角的平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB的平分线OC上一点P处，为尽快爬到OA或OB上控制猎物，讨论：你认为它应该选择什么路线？两条路线的长度有怎样的关系？
【教学与建议】教学：通过有关蜘蛛网的实例，复习了点到直线的距离这一概念，又初步发现角平分线上的点到角两边的距离相等．建议：先观察图形，结合实践经验，师生交流．
●复习导入　活动内容：
1．回顾角平分线的定义、性质．
2．小组内讨论寻找角平分线的性质的方法．
3．小组选派代表演示方法步骤．
方法步骤：
(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；
(2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C；
(3)过点C折OA，OB边的垂线，得到新的折痕CD，CE，其中，点D是折痕与OA边的交点，点E是折痕与OB边的交点；
(4)发现：CD与CE的长度相等．
【教学与建议】教学：通过复习提问，锻炼了学生的思维能力和动手操作能力．建议：由学生回答角平分线的含义、性质，学生边叙述边演示折纸，得出结论．
◎命题角度1　角平分线的性质定理的应用
此类题目综合性较强，要求学生熟练角平分线定理，熟悉基本图形，能把角平分线的性质与其他知识融会贯通．
【例1】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为(C)
A．10 B．7 C．5 D．4
【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.
证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.
在△DEB和△DCF中，
∴△DEB≌△DCF(SAS)，
∴BD＝FD.
◎命题角度2　角平分线性质定理的逆定理的应用
数学表达式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线上．
【例3】如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为(A)
A．65° B．60°
C．45° D．30°
【例4】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
◎命题角度3　角平分线性质的实际应用与尺规作图
角平分线上的点到角两边的距离相等，很多选址问题利用此定理结合轴对称、垂直平分线等综合运用．
【例5】两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹)
解：如图，作线段AB的中垂线与∠DCE的平分线交于点P，点P即为所求．
高效课堂　教学设计
1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理(判定定理)．
2．能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题．
▲重点
利用角平分线的性质定理及其逆定理解决一些简单问题．
▲难点
综合利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．__从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线__叫做角的平分线．
2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：__角的平分线上的点到角两边的距离相等__．这节课，我们将学习证明这一性质．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探究角平分线的性质定理
1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．
2．角平分线的性质定理用符号语言表示为：
∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.
3．应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分．
【探究2】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是__在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上__．
请证明角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，
∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)，
即点P在∠AOB的平分线上．
2．用符号语言表示为：
∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴点P在∠AOB的平分线上．
3．角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离．
【方法指导】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离．
解：如图，作DE⊥AB.
∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm，
∴CD＝15×＝6(cm)，
∴DE＝6 cm，
∴点D到AB边的距离为6 cm.
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．
【方法指导】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的求得DE.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝AD＝×10＝5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
◆活动4　随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是(B)
A．mn B．mn C．2mn D．mn
　　　　　　　
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是__2__．
3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.
(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；
(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.
证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，
∴OD＝OE.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OB＝OC；
(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA为∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
4．课本P29随堂练习T1
5．课本P29随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索角平分线的性质定理与判定定理过程中，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对角平分线性质定理与判定定理的理解．
【作业】课本P30习题1.9中的T2、T3、T4.
这节课通过探究、猜测、证明，得出角平分线的性质定理和判定定理，在教学过程中，充分发挥学生的主体地位，调动他们的学习积极性，创造宽松、和谐的课堂气氛．

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