资源简介

第一章
三角形的证明
1　等腰三角形
第1课时　全等三角形和等腰三角形
●情景导入　如图，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？要求学生自己动手折一折．
(1)什么是等腰三角形？
(2)用折纸的办法探究等腰三角形，你能发现它有哪些性质？
【教学与建议】教学：从学生动手剪折等腰三角形入手，借助于适当的问题引导，激发学生的学习兴趣．建议：学生先动手剪出一个等腰三角形，再利用等腰三角形是轴对称图形，折纸发现等腰三角形的性质．
●悬念激趣　活动内容：如图，在打扫卫生时，小丽不小心把一块三角形的玻璃饰品打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．小东、小丽有不同的意见．
小东：把①②③全部带去才行．
小丽：没必要全带去，带①去就行了．
小东和小丽两人谁的意见更合理呢？你能说出理由吗？
【教学与建议】教学：通过回顾学过三角形全等的判定方法，引导学生思考证明，为下一步利用三角形全等证明等腰三角形的性质定理做好铺垫．建议：先回顾学过的全等知识，再解决生活中的实际问题，最后推导等腰三角形的性质．
◎命题角度1　全等三角形的判定及性质
判定两个三角形全等的方法主要有SSS，SAS，ASA，AAS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【例1】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为__65°__．
【例2】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，
∴∠BAD＝∠NAM.
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.
◎命题角度2　等边对等角的应用
等边对等角是等腰三角形的一个重要性质，相等线段对应相等的角，结合三角形内角和，利用方程求出角的度数．
【例3】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为(A)
A．60° B．70° C．75° D．90°
【例4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．
解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠B＝∠BAD＝x°，则∠ADC＝2x°，∴∠C＝2x°，
∴∠B＋∠C＝3x°.
∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°，∴3x＝78.
∴x＝26，∴∠ADC＝52°.
◎命题角度3　利用分类讨论思想解决等腰三角形性质问题
在等腰三角形性质的运用过程中，当此类题目没有给出相应的示意图时，要进行分类讨论，常采取的方式就是通过画图找到所有符合题意的情况．
【例5】如果等腰三角形有两条边长分别为4 cm和5 cm，那么它的周长是__13_cm或14_cm__．
◎命题角度4　等腰三角形与全等三角形的综合运用
判定全等三角形的基本思路：结合已知条件，选择最合适的判定方法，当题目出现等腰三角形时，联系到等边对等角，综合运用，灵活解决问题．
【例6】如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
解：(1)∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
(2)∵F是AC的中点，∴AF＝CF.
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG(ASA).∴GC＝AE＝8.
∵GC＝2BG，∴BG＝4.∴BC＝12.
又∵AB＝AC＝10，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
◎命题角度5　“三线合一”的应用
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，利用这个性质解决有关等腰三角形的计算或证明题．
【例7】等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，则BC边上的高是__12__cm.
【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD为∠BAC的平分线．
又∵在△ABC中，AB＝AC，点E在AD上，
∴AE⊥BC.
高效课堂　教学设计
1．理解作为证明基础的几条公理的内容，利用公理证明一般三角形和等腰三角形的性质定理．
2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理的推论．
▲重点
证明等腰三角形的性质定理，并能用性质定理解决相关问题．
▲难点
证明等腰三角形的相关性质．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
围绕全等三角形的判定方法．
(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
(2)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
(3)三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】三角形全等的性质
证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°(三角形内角和等于180°)，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E(已知)，
∴∠C＝∠F.
又∵BC＝EF(已知)，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
【归纳】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．
【探究2】等腰三角形的性质
议一议：
1．什么是等腰三角形？
2．你会画等腰三角形吗？请你画一个等腰三角形并把它裁剪下来．
3．试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)．
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(等腰三角形的“三线合一”)．
4．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
　　 　　
方法1：如图②，取BC的中点D，连接AD，构造三角形全等(SSS).
证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
方法2：如图③，作∠BAC的平分线，交BC边于点D，构造三角形全等(SAS).
证明：作∠BAC的平分线，交BC边于点D.
∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角．
想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
归纳推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，已知∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，AB＝CD.求证：AE＝DF.
【方法指导】要证明AE＝DF，可先证AE和DF所在的两个三角形全等，即证△ACE≌△DBF，从而转化为寻找使△ACE≌△DBF成立的条件，然后在证得两个三角形全等后再利用全等三角形的对应边相等的性质即可得到AE＝DF.
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB.
在△ACE和△DBF中，
∵∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，AC＝DB，
∴△ACE≌△DBF(AAS)，
∴AE＝DF(全等三角形的对应边相等).
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
◆活动4　随堂练习
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为(D)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为__25__．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是__70°和40°或55°和55°__．
4．课本P3随堂练习T1
5．课本P4随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索三角形全等与等腰三角形的性质时，运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P4习题1.1中的T1、T2、T3.
本节课把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣．为了展示重点，突破难点，充分发挥学生的主观能动性，以使他们比较好地掌握知识、增强学习数学的兴趣．

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