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第3课时　等腰三角形的判定与反证法
●情景导入　某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得BC的长度是50 m，就可知河流宽度是50 m.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
【教学与建议】教学：从生活中的问题出发，激发学习的兴趣和动力．建议：要求学生独立思考，进行大胆猜测，说明理由，为学习三角形的判定作好铺垫．
●置疑导入　问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”；
(2)“三线合一”；
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是“一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”成立吗？
【教学与建议】教学：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔．建议：学生口答问题1，2，3.学生各抒己见，教师引导，并导入新课．
◎命题角度1　等腰三角形的判定
等腰三角形的证明方法主要有：(1)定义，即直接证明两边相等；(2)等角对等边．这两种方法的目的都是说明有两条线段相等．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有(C)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【例2】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝__40°__，则△ABC是等腰三角形．
◎命题角度2　反证法的应用
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题结论正确．
【例3】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设(D)
A．a【例4】求证：三角形中至少有一个角不大于60°.
证明：假设△ABC中，∠A、∠B、∠C都大于60°，则∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾，
所以假设不成立．
故三角形中至少有一个角不大于60°.
高效课堂　教学设计
1．理解并证明等腰三角形的判定定理，会解决实际问题．
2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题．
▲重点
等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义．
▲难点
运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
出示填空．
(1)等腰三角形的两底角__相等__．
(2)等腰三角形__底边上的高线__、__底边上的中线__及__顶角的平分线__互相重合．
(3)等腰三角形两底角的平分线__相等__．
(4)等边三角形的三个内角都__相等__，并且每个内角都是__60°__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】等腰三角形的判定
已知：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
　　 　　
证明一：如图②，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
证明二：如图③，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，∵∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为“等角对等边”)
【探究2】反证法
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
【归纳】先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
“反证法”的一般步骤：
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知：如图，AB＝DC，BD＝CA.
求证：△AED是等腰三角形．
【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.
证明：在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)，
∴AE＝DE(等角对等边)，∴△AED是等腰三角形．
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．
【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等).
又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.
又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF(等角对等边)，
∴△AEF是等腰三角形．
【例3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是直角．
【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立，
所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
◆活动4　随堂练习
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为(B)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°，应先假设这个三角形中(B)
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
4．课本P9随堂练习T1
5．课本P9随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．你还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，掌握等腰三角形的判定以及“反证法”的运用．
【作业】课本P9习题1.3中的T1、T2、T3、T4.
本课时的教学要点是通过探索、证明，让学生掌握等腰三角形的判定定理和反证法的一般步骤，熟悉反证法证明的基本思路．运用反证法进行命题的证明，需多加强练习．

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