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2　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
●复习导入　1.什么是勾股定理？
定理：__直角__三角形__两条直角边__的平方和等于__斜边__的平方．
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝3，c＝5，则b＝__4__．
(2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝__6__．
(3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝__6__．
3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是(B)
A．5，12，13 B．4，6，8
C．2，3， D．，4，5
【教学与建议】教学：复习旧知，激发学生的学习兴趣．建议：问题1，2口答，问题3进行小组合作讨论解决．
●悬念激趣　古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
学了今天的知识，我们就能明白其中的道理了．
【教学与建议】教学：由古代埃及数学问题，创设问题情境，激发学生的学习兴趣．建议：学生思考回答后导入课题．
◎命题角度1　判定直角三角形
判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【例1】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(B)
A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三角形三个内角中有两个角互余
【例2】若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为__4.8__．
◎命题角度2　折叠问题
理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．
【例3】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是(D)
A．AF＝AE B．EF＝2
C．△ABE≌△AGF D．AF＝EF
　　　　
【例4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝__3__cm.
◎命题角度3　勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题，先构建直角三角形，再利用勾股定理解决问题．
【例5】如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是(B)
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
　　　　　
【例6】如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为__2.9__m(结果精确到0.1)．
◎命题角度4　最短路程
此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．
【例7】图①所示的正方形木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为__(2＋2)__cm.
　　　　
【例8】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
解：×(2×3)×3＝9(cm)，＝＝15(cm).
∴需要爬行的最短路程是15 cm.
◎命题角度5　互逆命题(定理)的识别
交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．
【例9】下列说法正确的是(A)
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
【例10】下列定理中，没有逆定理的是(B)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
高效课堂　教学设计
1．掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理．
2．了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义．
▲重点
掌握直角三角形的性质定理及判定定理、勾股定理及判定定理的证明方法、会识别互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理及其逆定理的证明．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
出示填空．
(1)每个命题都是由__条件__、__结论__两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__对顶角__，结论是__相等__；
(2)“对顶角相等”是__真__命题；“我们是小学生”是__假__命题；(选填“真”或“假”)
(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：__如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等__；
(4)直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__；
(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：__直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.
性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【探究2】勾股定理及其逆定理
问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？
问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？
性质定理2：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图①，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形．
　　
分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′(如图②)，使∠A′＝90°，
A′B′＝AB，A′C′＝AC，
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
【探究3】互逆命题和互逆定理
观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
(1)
(2)
(3)
想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】若a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可能为(C)
A．2∶3∶4 B．3∶4∶6
C．5∶12∶13 D．4∶6∶7
【方法指导】勾股定理逆定理的运用．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，选项C中，52＋122＝132，所以答案是C.
答案：C
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【方法指导】给出△ABC是直角三角形，同时给出两边的长，我们会想到利用勾股定理来解题，再利用面积作为桥梁，求CD的长．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，
∴由勾股定理，得AC＝＝＝40.
又∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝24.
【例3】(1)写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题；
(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题，并判断其是否是原定理的逆定理．
【方法指导】(1)该命题的条件与结论很清楚，只要将条件与结论互换即可得逆命题，然后判断其真假；(2)此定理的条件与结论都是略写的形式，要注意写出的逆命题必须是完整的，不能简单地说成“相等是对顶角”．
解：(1)逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
(2)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这个命题是假命题，所以它不是原定理的逆定理，即原定理没有逆定理．
◆活动4　随堂练习
1．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为__5或__cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为__144__．
3．课本P16随堂练习T1
4．课本P16随堂练习T2
5．课本P16随堂练习T3
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】这节课你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P17习题1.5中的T1、T2、T3、T5.
本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导，注意学生个体差异．

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