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第2课时　等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质
●复习导入　1.上节课我们已经证明了等腰三角形的性质，你能用几何符号语言表达出这些性质吗？
2．等腰三角形中除了“三线合一”之外，还有一些中线、高线、角平分线．请你在图中画出它们，观察并比较它们的大小．
【教学与建议】教学：学生画图再观察、比较得出结论：等腰三角形两底角平分线相等、两腰上的中线相等、两腰上的高线相等．建议：让学生利用合情推理的方式得出结论．
●情景导入　我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？
从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些性质，并学习等边三角形的有关知识．
【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对新课的导入作好铺垫．建议：先复习等腰三角形的“三线合一”的性质，再理解等腰三角形的特殊性质．
◎命题角度1　等边三角形性质的应用
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．
【例1】如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么AB的长是(B)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
　　　　　　
【例2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．
【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，点G，F分别在AC，DG上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15°__．
◎命题角度2　等边三角形与“手拉手”模型的综合
由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模型时，要能联想到等角转换，进而借助全等三角形的判定与性质解决问题．
【例4】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△DBC≌△EAC.∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.
◎命题角度3　等腰三角形的高线不明确需分类讨论
当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一般画图解决．
【例5】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__120°或60°__．
【例6】已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的度数．
解：先证△BDF≌△ADC.当∠ABC为锐角时，如图①，∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度数为45°或135°.
高效课堂　教学设计
1．让学生借助等腰三角形的轴对称性探索等边三角形的性质定理．
2．熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题．
▲重点
熟练推导等腰三角形中的相等线段，理解等边三角形的性质．
▲难点
灵活利用等腰三角形的性质解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根据是__等边对等角__；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝__4__．根据是__三线合一__；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__；
(4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】等腰三角形中的相等线段
1．大胆猜想，探究方法．
问题1：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)．你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线．
求证：BD＝CE.
方法一：证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等).
方法二：证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠3，∠ACB＝2∠4(角平分线性质)，
∴∠3＝∠4(等式性质)．
在△ABD和△ACE中，∵∠3＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
2．规范过程，巩固所学．
问题2：等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？证明它们，并与同伴交流．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的中线．
求证：BD＝CE.
证明：∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的中线，
∴AD＝AC，AE＝AB，∴AD＝AE.
在△ABD和△ACE中，
∵AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
结论：等腰三角形两腰上的中线相等、高线相等．
3．思维发散，拓展延伸．
在上图的等腰三角形ABC中．
(1)如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB呢？由此你能得到的一个结论是__BD＝CE__；
(2)如果AD＝AC，AE＝AB，那么BD＝CE吗？如果AD＝AC，AE＝AB呢？由此你得到的结论是__BD＝CE__；
(3)为什么等腰三角形有这样的特殊性质？因为__等腰三角形是轴对称图形__．
【归纳】等腰三角形是轴对称图形，两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线都相等．
【探究2】等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角).
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B(等边对等角)，
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
【例2】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.
【方法指导】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
答案：15°
◆活动4　随堂练习
1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．
解：60°.
2．如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数．
解：120°.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)∠ECD＝36°；(2)BC＝5.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．探索等腰三角形的性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对等腰三角形的特殊性质以及等边三角形性质的理解．
【作业】课本P7习题1.2中的T1、T2、T3.
本节课利用类比方法，探究等腰三角形中的相等线段，学生能够体会推导过程，掌握推导方法，在证明过程还需规范，教学中要让学生投入较多的时间练习．在提出问题、解决问题的过程中，提高学生的研究能力，自主学习能力，引导他们探究方法得出结论．

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