资源简介

4　用尺规作三角形
●情景导入　师：什么是尺规作图？
生：尺规作图就是只用没有刻度的直尺和圆规画图．
师提出：“豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？”
生思考：“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”
【教学与建议】教学：让学生处理身边经历过的事情，自然导入本节课的研究课题．建议：找两名学生板演示范，其他学生在练习本上完成．
●复习导入　问题1：怎样作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角？
(1)作一条线段AC等于a；
(2)已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
问题2：如果已知三角形的两边及其夹角，你能作出这个三角形吗？
【教学与建议】教学：让学生进一步熟悉尺规作图的技巧，掌握作一个角等于已知角，为新课的学习做好铺垫．建议：学生先独立思考，然后在练习本上完成，找两名同学在黑板上作图．
●命题角度1　尺规作三角形
利用尺规作图法作一个三角形的原理是：SAS，ASA，SSS.
【例1】如图，用直尺和圆规求作一个角等于已知角的依据是(B)
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【例2】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a，c，∠β.
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠β.
解：先作∠MBN＝∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC＝a，AB＝c，连接AC即可，如图．
●命题角度2　运用尺规作比较复杂的三角形
运用尺规作比较复杂的三角形，通常先画出符合条件的三角形的草图，然后确定作图顺序．
【例3】如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图．
高效课堂　教学设计
1．经历尺规作图实践操作过程，能根据条件作出三角形．
2．利用已知两角及其夹边，两边及其夹角和三边的条件下，用尺规作出三角形．
▲重点
能根据条件用尺规作出三角形．
▲难点
探索作图过程．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．回忆说明全等三角形的方法有__边边边__、__边角边__、__角边角__、__角角边__．
2．尺规作图时，用没有刻度的__直尺__画直线、射线和线段，用__圆规__画弧和圆．
3．已知：线段a.
求作线段AB，使得AB＝a.
4．已知：∠α.
求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α.
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c，∠α.
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：①作一条线段BC＝a；
②以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC＝∠α；
③在射线BD上截取线段BA＝c；
④连接AC.△ABC就是所求作的三角形．
(老师边讲解作图步骤边演示作图过程)
对于此题，也可以先作出一个角等于已知角，然后再在这个角的两条边上分别截取线段等于已知线段，从而作出三角形．
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？理由是__全等三角形的判定方法“SAS”．__
【归纳】可以已知三角形的两边及其夹角用尺规作出所求的三角形．
【探究2】已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
问题1：已知三角形的两角及其夹边，怎样用尺规画出这个三角形呢？
已知三角形的两个内角分别等于∠α，∠β，这两角所夹的边等于c.
已知：∠α，∠β，线段c.求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：
①作∠DAF＝∠α；
②在射线AF上截取线段AB＝c；
③以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C，△ABC就是所求作的三角形．
问题2：同学们作出的这些三角形全等吗？理由是__全等三角形的判定方法“ASA”．__
【归纳】可以已知三角形的两角及其夹边用尺规作出所求的三角形．
【探究3】已知三角形的三条边，求作这个三角形．
已知：线段a，b，c(如图)
求作：△ABC，使得AB＝c，AC＝b，BC＝a.
(1)请写出作法并作出相应的图形．
(2)将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
【归纳】可以已知三角形的三边用尺规作出所求的三角形，理由是__全等三角形的判定方法“SSS”__．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例】你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？
(1)写出已知、求作；
(2)设计出作三角形的步骤；
(3)按你设计的步骤完成作图后，和同学交流，比较作图的方法是否相同，作出的三角形是否全等．
【方法指导】已知一个直角三角形的两条直角边和直角，根据全等三角形判定“SAS”知道所画三角形与原直角三角形全等．
解：已知：线段a，b和直角．
求作：OA＝a，OB＝b，∠AOB＝90°.
作法：①作∠MON＝90°；②在∠MON的两边分别截取OA＝a，OB＝b；③连接AB，则△AOB就是所求作的三角形．
◆活动4　随堂练习
1．如图，已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.
解：作法：①作∠MBN＝∠α；
②在射线BN，BM上分别截取BC＝m，BA＝n；
③连接AC，则△ABC就是所求作的三角形．
2．已知∠α，∠β，线段c，求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.
解：作法：①作线段BC＝c；
②在BC的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB与EC交于点A.则△ABC就是所求作的三角形．
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索利用尺规作三角形过程中，主要利用了全等三角形的SAS、ASA、SSS.
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法．加深对本节课知识的理解．
【作业】课本P107习题4.9中的T3、T4.
本节课的整体设计从复习已学过的两个基本尺规作图入手．就呈现方式而言，由作法与示范，到只给作法，不示范，最后作法与示范都不给出，体现了从模仿、独立完成作图，到探索作图的要求逐步提高的过程，反映出对数学思维能力要求的逐步提高．
作图后提出“与同伴作出的三角形进行比较你有什么发现？”引导学生根据全等三角形的定义，利用重合等直观方式观察所作出的三角形是否全等．

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