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5　利用三角形全等测距离
●复习导入　问题：(1)三角形全等的条件有哪些？
(2)如图，已知线段AB和线段CD相交于点O，AO＝BO，CO＝DO，若AC＝12 m．则BD的长为__12_m__．
操作：在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
【教学与建议】教学：复习全等三角形的有关知识，为本节课的理论奠定基础．建议：问题学生口答，操作题派代表，板演示范．
●悬念激趣　如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小强想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小强设计一个方案解决此问题吗？
【教学与建议】教学：通过设置悬念激发学生的学习兴趣，同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离．建议：让学生先独立思考，然后交流讨论，发表见解．
●命题角度1　利用全等三角形制作实用工具
当某些零部件的尺寸不容易直接测量时，可以借助全等三角形的性质制作测量工具．
【例1】如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条．若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(B)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
　　　
【例2】如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF＝3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为(A)
A．45 cm B．48 cm C．51 cm D．54 cm
●命题角度2　利用全等三角形测量不可直接测量的两点间距离
当无法直接测量两个点之间的距离时，可以构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决实际问题．
【例3】如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长．这个测量用到判定三角形全等的方法是__ASA__．
【例4】如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A点，然后他姿势不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B点，他发现看到B点和A点的视角相同(即∠BDC＝∠ADC)，并测量BC＝30 m．你能猜出河有多宽吗？说说理由．
解：河的宽度为30 m．理由如下：
由题可知∠ACD＝∠BCD＝90°.
在△ACD和△BCD中，
所以△ACD≌△BCD(ASA)，所以AC＝BC＝30 m．
●命题角度3　确定方案
根据全等三角形的判定，确定所给方案是否可行或判断自己所给方案是否正确．
【例5】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB.
请你说明他们做法的正确性．
解：由他们的做法知：
在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC(ASA).所以AB＝ED.
故他们的做法是正确的．
高效课堂　教学设计
1．能利用三角形全等解决实际生活中的“不可直接测量距离”问题，体会数学与实际生活的联系．
2．进一步巩固和理解全等三角形的判定与性质．
▲重点
利用三角形全等解决实际问题．
▲难点
在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．想一想，填一填．
(1)三角形全等的条件有__SSS__，__ASA__，__AAS__，__SAS__．
(2)全等三角形的性质：两个三角形全等，对应边__相等__，对应角__相等__．
2．一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
如图所示：
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】测碉堡的距离
在课堂引入中，这位聪明的战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．你能说出理由吗？
分析：如图，战士的身高AH不变；战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；视角∠CAH＝∠BAH；战士要测的是敌军碉堡B与我军阵地H的距离，战士的结论是只要按要求测得CH的长度即可得到BH的长度．
证明：在△AHB与△AHC中，
因为∠BAH＝∠CAH，AH＝AH，∠BHA＝∠CHA，
所以△AHB≌△AHC(ASA).
所以BH＝CH(全等三角形的对应边相等).
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形，并证明．
解：方案一：延长全等法．
【方法指导】先在地面上任取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到 D，使DC＝AC，连接BC并延长到点E，使EC＝BC，连接DE，测得的DE的长度就是A，B间的距离．
设计图形：如图．
证明：在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(SAS)，
所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等).
方案二：延长垂直全等法．
【方法指导】在AB的垂线BD上取两点C，D，使CD＝BC，过点D作BD的垂线DG，并在DG上取一点E，使点A，C，E在同一直线上，测得的DE的长度就是A，B间的距离．
设计图形：如图．
证明：因为点A，C，E在同一直线上，
所以∠ACB＝∠ECD.
因为AB⊥BD，DG⊥BD，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.
在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC(ASA)，
所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等).
方案三：垂直全等法．
【方法指导】让一人戴一顶太阳帽，在点B立正站好；自己调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A，该人转过一个角度，保持刚才的姿势，帽檐不动，这时再望出去，仍让视线通过帽檐，视线所落的位置为点C；连接BC，测出BC的长，就是A，B间的距离．
设计图形：如图．
证明：根据题意知，∠ADB＝∠CDB.
因为DB⊥AC，所以∠ABD＝∠CBD＝90°.
在△BAD和△BCD中，
所以△BAD≌△BCD(ASA).
所以BA＝BC(全等三角形的对应边相等).
【例2】小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面的夹角为∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面的夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36 m，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
【方法指导】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．
解：因为∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
所以∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP＝∠PBA，DC＝BP，∠DCP＝∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA)，所以DP＝AB.
因为DB＝36 m，PB＝10 m，
所以AB＝DP＝DB－PB＝36－10＝26(m).
答：楼高AB是26 m．
◆活动4　随堂练习
1．如图，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是__SAS__．
　　　　　
2．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50 m到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走17 m，到达E处，使A，C，E在同一直线上，那么A，B的距离为__17__m.
3．如图，两根长12 m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上(绳结处的误差忽略不计)，现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面，请说明理由．
解：用卷尺测量出BD是否与CD相等．
理由如下：在△ABD和△ACD中，
因为AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，
所以∠ADB＝∠ADC，
又因为∠ADB＋∠ADC＝180°，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.通过这节课的学习，你主要学习了哪些知识？
2．在探索利用三角形全等测距离时，主要运用哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法，加深学生在教学知识运用中的转化思想．
【作业】课本P109习题4.10中的T1、T2、T3.
本节课在教学过程中，让学生们“自主探究”“合作研学”，充分发表意见，进行自由而舒畅的合作交流活动，既提高了学习的积极性，又刺激了他们思维的多向性与逻辑性．在合作探究过程中，鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的应用进行深层的探究与学习，培养学生创造性和解决问题的能力．

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