资源简介

第4课时　三角形的高线
●类比导入　活动内容：展示图片
比一比，谁更高？
　　　　　
【教学与建议】教学：用“比一比，谁更高”的生活实例来引入，让学生感受到生活问题可以转化为数学问题，初步感知三角形高的概念．建议：通过贴近生活的图片来激发学生的兴趣，从而引入课题．
●复习导入　1.三角形的中线是__在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段__．
2．三角形的角平分线是__在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段__．
3．垂线的定义是什么？
4．如何“过直线外一点画已知直线的垂线”？
【教学与建议】教学：复习三角形的中线和角平分线以及过一点如何画一条直线的垂线，掌握它们的本质特征，又为高线的引入做好铺垫．建议：口答后动手画图，加深对垂线画法的理解和掌握．
●命题角度1　识别三角形的高及画法
高线的特征有三个，分别是过顶点、垂直、对边，三者缺一不可．
【例1】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是(D)
　　　　　　
【例2】如图，CD⊥AB，以CD为高的三角形有(D)
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
●命题角度2　三角形高线所在直线的交点
锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高线的交点在三角形的直角顶点上，钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部．
【例3】下面说法正确的有(C)
①三角形的三条角平分线交于一点；②三角形的三条中线交于一点；③三角形的三条高线交于一点；④三角形的三条高线所在的直线交于一点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4】如果三角形三条高线的交点在三角形的内部，那么这个三角形是__锐角三角形__．
●命题角度3　与三角形的高有关的计算
三角形的面积等于底乘高积的，注意底和高的对应性．
【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
　　　
【例6】如图，AD与CE是△ABC的两条高，且AB＝4，BC＝8，则AD∶CE＝__1∶2__．
●命题角度4　利用角平分线、高线、中线解决实际问题
在三角形中，常综合运用三角形内角和是180°、三角形的角平分线、高线找角之间的关系；利用中线找线段之间的关系，结合图形完成解答．
【例7】如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝54°，∠C＝76°.
(1)求∠ADB和∠ADC的度数；
(2)若DE⊥AC，求∠EDC的度数．
解：(1)∵∠B＝54°，∠C＝76°，∴∠BAC＝50°.
∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝25°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝101°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝79°；
(2)∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°－∠C＝14°.
【例8】如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.
(1)求AD的长；
(2)求△ABE的面积；
(3)求△ACE和△ABE的周长的差．
解：(1)4.8 cm；
(2)12 cm2；
(3)2 cm.
高效课堂　教学设计
1．认识三角形的高线，会画任意三角形的高线，了解三角形的三条高所在直线交于一点．
2．理解垂心的含义，灵活运用高线分析和解决问题．
▲重点
三角形高线的概念，会画任意三角形的高．
▲难点
画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
出示问题
1．什么是三角形的中线、三角形的角平分线？已知AD是△ABC的BC边上的中线，你可以得到哪些结论？如果AD是△ABC的角平分线，你又能得到哪些结论呢？
2．如何过直线外一点画已知直线的垂线？
3．什么是三角形的高？从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．这节课我们将继续学习三角形的高线．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】锐角三角形的高线
利用你的锐角三角形纸片：
展示问题：(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢？
如图，__AF__是△ABC中BC边上的高，BD是△ABC中__AC__边上的高，__CE__是△ABC中AB边上的高．
【归纳】锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并相交于一点．
【探究2】直角三角形的高线
利用你的直角三角形纸片：
展示问题：(1)你能画出这个三角形的三条高吗？
(2)它们有怎样的位置关系呢？
画一个直角三角形，并尝试画出它的高．(教师巡视，学生讨论直角三角形的高)
直角三角形也有三条高，如图，Rt△ABC的三条高分别是AB，BC，BD，即__AB__是BC边上的高，BC是__AB__边上的高，BD是__AC__边上的高．直角三角形有一条高在三角形的内部，另外两条高分别是直角三角形的两条直角边，这三条高也相交于一点，这个交点不在三角形的内部，而与这个直角三角形的__直角顶点__重合．
【归纳】直角三角形有三条高，这三条高也相交于一点．
【探究3】钝角三角形的高线
利用你的钝角三角形纸片：
展示问题：(1)你能折出这个三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
(2)这个三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
小组讨论交流．
钝角三角形的三条高线，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的外部，我们可以通过画图得到它们．如图，在△ABC中，__AD__是BC边上的高，CE是__AB__边上的高，__BF__是AC边上的高．虽然这三条高不相交于一点，但是，这三条高线所在的直线相交于一点，这个交点在三角形的外部．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】下列图形中，AD是△ABC的高线的是()
　　　　　　　　　　　　
【方法指导】三角形高线的概念：过三角形的一个顶点，向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，只有选项D符合要求．
答案：D
【例2】如图，在△ABC中，AE，AD分别是BC边上的中线和高．试说明△ABE的面积与△AEC的面积相等．
【方法指导】由图象可知，△ABE和△AEC的高相同．证明底边BE＝CE即可．
解：S△ABE＝BE·AD，S△AEC＝EC·AD，因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC，所以S△ABE＝S△AEC.
　　　　　　
【例3】如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC＝82°，∠C＝40°，求∠DAE的大小．
【方法指导】因为在Rt△ADE中，∠DAE＝90°－∠DEA，且∠DEA＝∠EAC＋∠C，∠C已知，AE是△ABC的角平分线，所以∠EAC＝∠BAC，这样先求出∠DEA的度数，再算出∠DAE的度数．
解：因为AE是△ABC的角平分线，所以∠EAC＝∠BAC＝82°×＝41°.又因为∠C＝40°，所以∠BEA＝∠EAC＋∠C＝41°＋40°＝81°，在Rt△DAE中，∠DAE＝90°－∠DEA＝90°－81°＝9°.
◆活动4　随堂练习
1．如图，已知AE＝3，BD＝2，则△ABC中BC边上的高的长度为__3__．
　　　　
2．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝3，AC＝5，DE＝2，求点D到AB的距离．
解：.
3．课本P90随堂练习T1.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索高线的过程中，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P91习题4.4中的T1、T2、T3.
在三角形概念的教学后，学生已经学会自主探索的方法，能够自己动手猜想验证一些三角形的特殊性质．总的来看这节课学生掌握得还不错．
通过本节的学习，学生能够接受有关三角形的知识，但是学生的动手操作能力有待提高，需要教师加强引导和增加训练量．

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