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第3课时　角平分线的性质及画法
●复习导入　生活中有许多图形是轴对称图形，验证一个图形是不是轴对称图形可以通过对折的方式．
角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么验证的？交流你的想法．
【教学与建议】教学：体验角平分线的简易作法，让学生亲自动手折叠一个角，为整节课的学习奠定基础．建议：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．
●置疑导入　不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角．你有什么办法？(对折)再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？
【教学与建议】教学：让学生动手动脑体验操作将一个角分成两个相等的角，为新课作铺垫．建议：学生自己发现结论，发挥学生的主动作用．
●命题角度1　角平分线的尺规作图
尺规作图就是只用没有刻度的直尺和圆规画图．
【例1】如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为(B)
A．60° B．65° C．70° D．75°
　　　　　
【例2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，则∠MAB的度数为__30°__．
●命题角度2　利用角平分线的性质计算
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于(B)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
　　
【例4】如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点E，且与AB垂直，垂足为A，交CD于点D.若AD＝4，则点E到BC的距离是__2__．
●命题角度3　线段垂直平分线、角平分线性质的综合应用
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，综合运用这两条性质，选择合适条件和表示方法来解决问题．
【例5】如图，已知△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(C)
A．10 B．7
C．5 D．4
【例6】如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，试说明：BC＝2AB.
解：因为DE是BC的垂直平分线，
所以BE＝EC＝BC，DE⊥BC，所以∠DEB＝90°.
因为∠A＝90°，所以∠A＝∠DEB.
又因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠EBD，DA＝DE，
所以△ABD≌△EBD(AAS)，所以AB＝BE，所以AB＝BC，即BC＝2AB.
高效课堂　教学设计
1．经历探索角的轴对称性质的过程，理解角平分线的有关性质．
2．利用折叠的方法说明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．
▲重点
探索并理解角平分线的有关性质．
▲难点
运用角平分线的性质解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
这节课我们来利用角平分线的性质解决这类问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】角的轴对称性
操作：在一张纸上任意画一个角∠AOB，如图，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片，看看折痕与这个角有什么关系？
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．
【探究2】角平分线的性质
请同学们按下列步骤完成折叠过程：
(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线；
(2)在∠AOB的平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE重合吗？
(3)改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？你能说明理由吗？
【归纳】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【探究3】尺规作角的平分线
下面我们探究用尺规作角的平分线．
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：
(1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
(2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
(3)作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线(如图)．
你能说明这样作的道理吗？
理由：连接CE，CD.因为OD＝OE，CD＝CE，OC＝OC，
所以△COD≌△COE(SSS).
所以∠COD＝∠COE，即OC是∠AOB的平分线．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
【方法指导】角平分线性质的运用．
解：相等．理由：因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可知DE＝DC.
【例2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()
A．6 B．5 C．4 D．3
【方法指导】过点D作DF⊥AC于F.因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF＝DE＝2，所以S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.
答案：D
【例3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
【方法指导】根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
解：因为AB∥CD，
所以∠ACD＋∠CAB＝180°.
又因为∠ACD＝120°，所以∠CAB＝60°.
由尺规作图知AM是∠CAB的平分线，
所以∠MAB＝∠CAB＝30°.
◆活动4　随堂练习
1．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的长．
解：CD＝3.
3．课本P126随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.本节课你知道了哪些新知识？
2．你还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对角平分线的理解和应用．
【作业】课本P127习题5.5中的T1、T2、T3.
课堂开始设计了折纸活动，让学生体验角的轴对称性，为学分线的性质做好铺垫．通过学习尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．有效提高了学生对新知识的理解和感悟，教学效果较好．

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