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2　用关系式表示的变量间关系
●置疑导入　同学们，你知道你穿的鞋的长是多少厘米以及它是多少码的吗？请量一量．用表格表示变量间的关系：
鞋的长度/cm 22 23 24 25 …
鞋的码数 34 36 38 40 …
　　(1)表格反映的是__鞋的长度__与__鞋的码数__之间的关系，自变量是__鞋的长度__，因变量是__鞋的码数__；
(2)根据表格中的数据，说一说码数是怎样随鞋的长度的变化而变化的．
如果鞋的长度为x(cm)，码数为y，我们将y用含x的代数式表示是__y＝2x－10__．今天，我们就来学习用关系式表示的变量间关系．
【教学与建议】教学：让学生经历动手实践，将实际问题抽象为数学问题的过程，也为新课的学习做好铺垫．建议：先让学生自己量一量，然后用表格表示变量间的关系．
●情景导入　将若干张长为10 cm、宽为5 cm的长方形白纸按如图所示的方法粘起来，黏合部分的宽为1 cm.
(1)完成下列表格．
白纸/张 2 3 4 5 …
总长度/cm 19 28 37 46 …
　　(2)设x张白纸黏合后的总长度为y cm，则y与x之间的关系式是__y＝9x＋1__．
【教学与建议】教学：观察图形，用表格表示变量之间的关系，为用关系式表示的变量间的关系打下基础．建议：由学生独立完成(1)；对于问题(2)，教师引导学生分析题意．
●命题角度1　用关系式表示两个变量之间的关系
用等式表示两个变量之间的关系，等式左边是因变量，右边是含自变量的代数式．
【例1】某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元，则y与x之间的关系式为(B)
A．y＝2＋2x B．y＝2x C．y＝2－2x D．以上都不对
【例2】设地面气温为20 ℃，如果每升高1 km，气温下降6 ℃.在这个变化过程中，自变量是__高度__，因变量是__气温__．如果高度用h(km)表示，气温用t(℃)表示，那么t随h的变化而变化的关系式为__t＝－6h＋20__．
●命题角度2　根据关系式进行计算
在已知关系式的前提下，任意给出自变量或因变量的值都能用代入计算的方法求出另一个变量的值．
【例3】变量x与y之间的关系式为y＝x2＋1，当自变量x＝2时，因变量y的值是(D)
A．－2 B．－1 C．1 D．3
【例4】同一温度的华氏度数y(?)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系式是y＝x＋32.如果某一温度的摄氏度数是25 ℃，那么它的华氏度数是__77__?.
●命题角度3　动点问题中的关系式
动点问题往往伴随着几何图形的面积的计算，解答这类问题通常是根据动点和不动点构造的常见几何图形的面积公式表示得到相应的关系式．
【例5】如图，在△ABC中，已知BC＝16，高AD＝10，动点Q由点C沿CB向点B移动(不与点B重合)．设CQ的长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为(B)
A．S＝80－5x B．S＝5x C．S＝10x D．S＝5x＋80
　　　　　　　
【例6】如图，在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为CB边上一动点，当点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是__CP的长__，因变量是__△APC的面积__；
(2)如果设CP的长为x cm，△APC的面积为y cm2，那么y与x之间的关系式为__y＝3x__；
(3)当点P从点D(D为BC的中点)运动到点B时，△APC的面积从__12__cm2变到__24__cm2.
高效课堂　教学设计
1．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，能提出自变量和因变量．
2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．
▲重点
找问题中的自变量和因变量，用关系式表示变量之间的关系．
▲难点
根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
填一填．
1．△ABC的底边长为a，高为h，面积S△ABC＝__ah__.
2．梯形的上底、下底长分别为a，b，高为h，面积S梯形＝__h(a＋b)__．
3．随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷．
而打电话就要交话费，下表是某同学家长调取的几次通话时间和对应的通话费用：
通话时间/min 1 2 3 4 5 6
通话费用/元 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
(1)表格中的两个变量中，__通话时间__是自变量，__通话费用__是因变量；
(2)随着通话时间的增加，通话费用的变化趋势是__增加__；
(3)如果用字母x表示通话时间，用字母y表示通话费用，用字母表示它们之间的关系是__y＝0.2x__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探究变化的三角形(课件)
如图，三角形ABC底边BC上的高是6 cm，当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
问题1：如何求三角形的面积？
问题2：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
问题3：三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
解：1.三角形的面积＝底×高．
2．自变量是底边BC的长度，因变量是三角形ABC的面积．
3．三角形的面积逐渐减小．
【探究2】关系式的应用
根据探究1回答下列问题：
问题1：如果设三角形的底边BC的长为x(cm)，那么三角形ABC的面积y(cm2)可以用含x的代数式表示为y＝__3x__．
问题2：当底边BC的长从12 cm变化到3 cm时，三角形ABC的面积从__36__cm2变化到__9__cm2.
问题3：你能用表格法完成三角形ABC面积变化的过程吗？
x/cm 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
y/cm2 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9
　　y＝3x表示了三角形的底边长x和三角形的面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式(如y＝3x)，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．
【探究3】表格和关系式对比
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系，各有优点．具体见表格．
优点 缺点 二者关系
表格直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势 变量的取值个数有限，估计时比较粗略 利用表格可以写出关系式；利用关系式可以列表格
关系式精确反映两个变量间的关系；已知一个变量的值，可以求出另一变量的值 变量间的对应关系不太直观
　　◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(课本P66“做一做”)如图，圆锥的高是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是__圆锥的底面半径__，因变量是__圆锥的体积__；
(2)如果圆锥底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为__V＝πr2__；
(3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆锥的体积由__π__cm3变化到__π__cm3.
【方法指导】处理问题(1)时课件演示圆锥，通过拖动圆锥任意改变其形状、大小，学生观察圆锥的体积由哪些因素决定，判断并指出在这个变化过程中哪个是自变量，哪个是因变量；处理问题(2)时提醒学生圆锥的体积公式，利用体积公式写出等式：V＝πr2h＝πr2；处理问题(3)时引导学生将r＝1，r＝10分别代入V＝πr2中．当r＝1时，V＝π×12＝π；当r＝10时，V＝π×102＝π.所以圆锥的体积由π cm3变化成π cm3.
【例2】(教材P67“议一议”)你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为__0.785x__，其中的字母表示__耗电量__；
(2)在上述关系中，耗电量每增加1 kW·h，二氧化碳排放量增加__0.785_kg__，当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时，二氧化碳排放量从__0.785_kg__增加到__78.5_kg__；
(3)小明家本月用电大约110 kW·h、天然气20 m3、自来水5 t、耗油75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
解：各项排放量分别为86.35 kg，3.8 kg，4.55 kg，202.5 kg.
【方法指导】(1)根据题意得，家居用电的二氧化碳排放量＝耗电量×0.785；(2)耗电量增加1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.785 kg，增加到100 kW·h时，0.785×100＝78.5(kg)就是二氧化碳的排放量；(3)0.785×110＝86.35(kg)家居用电二氧化碳排放量；20×0.19＝3.8(kg)天然气二氧化碳排放量；5×0.91＝4.55(kg)自来水二氧化碳排放量；75×2.7＝202.5(kg)私家车二氧化碳排放量．
◆活动4　随堂练习
1．变量y与x之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝1时，因变量y的值是(A)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．长方形的周长为36 cm，其中一边长为x cm(x＞0)，面积为y cm2，则在这个长方形中，y与x之间的关系式可以写为(C)
A．y＝x2 B．y＝(18－x)2
C．y＝x(18－x) D．y＝2(18－x)
3．根据下图所示的程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为－1，则输出的y值为(B)
A．－2 B．2 C．－1 D．0
4．课本P67随堂练习T1.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.我们学习了哪些方法来表示变量之间的关系？
2．对比一下这几种方法，它们各自在表示变量关系时有哪些优点和缺点？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对用关系式表示的变量间关系的理解．
【作业】课本P68习题3.2中的T1、T2、T3、T4.
通过三角形的面积的变化情况结合其面积公式很自然地得到变量之间的关系式，在对三角形相应时刻面积的计算的基础上体会关系式的重要性．通过学生对例题的比较、讨论、总结，归纳理解变量之间的对应关系．

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