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第三章 变量之间的关系
1　用表格表示的变量间关系
●情景导入　在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
【教学与建议】教学：通过学生熟悉的情景，感受事物的变化，使学生体会变化无时无刻不在发生，培养学生的观察能力．建议：教师指出从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系．
●归纳导入　活动内容1：同学们，你知道现在是什么季节吗？一年四季是有规律变化的．
活动内容2：你能列举日常生活中经常变化的事物吗？
【教学与建议】教学：让学生体会我们生活在变化的世界中，很多东西都在发生变化．建议：让学生认真观察树木随时间的变化情况，初步体会自变量和因变量．
●命题角度1　识别变量与常量
确定数值在该过程中哪些量是变化的，哪些量不变，数值发生变化的量为变量，不发生变化的量为常量．
【例1】在圆的周长公式C＝2πr中，下列说法正确的是(C)
A．C，π，r是变量，2是常量 B．C，π是变量，2，r是常量
C．C，r是变量，2，π是常量 D．以上都不对
【例2】小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是(D)
A.金额
B．加油量
C．单价
D．金额和加油量
●命题角度2　根据表格给出的数量关系判断变量之间的关系
根据表格中给出的数量关系，首先要确定自变量和因变量，再去分析其变化的规律，进而得到变量之间的关系．
【例3】2023年4月7日，台风“艾云尼”在广东江门市台山沿海地区登陆，广东省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨．某河受暴雨冲刷，一天的水位记录如下表，观察可知水位上升最快的时段是(D)
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
A．8～12时 B．12～16时
C．16～20时 D．20～24时
【例4】下表是小华做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
温度/℃ 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100
(1)时间是8分钟时，水的温度为__100_℃__；
(2)此表反映了变量__温度__和__时间__之间的关系，其中__时间__是自变量，__温度__是因变量；
(3)在__0至8分钟__时间内，温度随时间增加而增加；__8至12分钟__时间内，水的温度不再变化．
高效课堂　教学设计
1．理解变量、自变量和因变量的概念，能从表格中获得变量之间关系的信息，并能对数据的变化趋势进行预测．
2．在具体情境中理解什么是变量、自变量，并能举出反映变量之间关系的例子．
▲重点
通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念，能从表格中发现变量之间的变化关系．
▲难点
对表格中数据做出分析和预测．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
你们现在正处于青春期，你知道你们这个年龄的标准身高是多少吗？
出示课件，你能大致地描述青春期男女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能估计自己18岁时的身高吗？
我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化，从这一章开始我们将从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，可以帮助我们更好地了解自己、认知世界和预测未来．
这节课我们将学习用表格表示变量之间的关系．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】理解变量、常量的关系
某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间．
　　　　　　
支撑物的高度不同，小车下滑的时间有怎样的变化？
图①中的小车下滑的时间长，图④中小车下滑的时间较短．从图①到图④，随着支撑物的增高，小车下滑的时间逐渐变短．由于木板的长度不变，因此支撑物的高度越高，木板就越陡，小车下滑的时间就越短．
小组根据试验得出如下数据：
支撑物的高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑的时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
　　根据上表中的数据，填空：
(1)支撑物高度为70 cm，小车下滑时间是__1.59_s__；
(2)如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是__t随h的增大而减小，支撑物的高度越高，下滑时间越短__；
(3)h每增加10 cm，t的变化情况__不相同__；(选填“相同”或“不相同”)
(4)估计当h＝110 cm时，t的值是__1.30_s__，你是怎样估计的？
理由：当h＝110 cm时，又比h＝100 cm增加10 cm，根据t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06 s或者等于0.06 s，我估计t的减少量为0.05 s比较合适，因此t的值大约为1.35－0.05＝1.30(s)；
(5)随着支撑物高度h的变化，发生变化的量有__速度、时间__等，不发生变化的量有__木板长度、小车质量__等．
议一议，填一填(课件)
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿)：
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009
人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
　　(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是__y随x的增大而增大__．
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口的变化趋势是__逐步增加__．
【探究2】揭示变量、自变量、因变量、常量等概念
在一个过程中既有不变的量，也有变化的量，而在变化的量中，由于其中一个量变化，造成另一个量变化，因此我们把这些量给予适当的名称，请同学们看课本P63相关内容，明确各自的名称．
【归纳】在变化过程中，若有两个变量x和y，其中y随x的变化而发生变化，我们就把x叫做自变量，y叫做因变量，始终不变的量叫做常量．
利用在变化过程中两个变量的因果关系，确定自变量和因变量．也就是说借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况．
在利用表格表示变量之间的关系时，通常自变量在表格的第一行，因变量在第二行．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
(1)分针旋转一周内，旋转的角度 n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；
(2)一辆汽车以60 km/h的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系式s＝60t.
【方法指导】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可解答．
解：(1)常量：6，变量：n，t；
(2)常量：60，变量：s，t
【例2】李强星期日去郊外爬山，他的爸爸为他记录了如下数据：
爬坡长度x/m 30 50 80 100 150 200
爬坡时间t/min 2 3.7 6.5 9 14 20
(1)当爬坡100 m时，所花的时间是多少？
(2)当所爬坡长每增加10 m时，所花时间相同吗？
(3)从数据的变化中，你能得到什么变化趋势？
【方法指导】(1)直接从表格中找出爬坡100 m所用时间为9 min；
(2)30－50 m时，增加了1.7 min，则每增加10 m用时0.85 min，80－100 m时，增加2.5 min，则每增加10 m用时1.25 min，所花时间不同；
(3)100－150 m时，每增加10 m用时1 min，150－200 m时，每增加10 m用时1.2 min，速度变慢．
解：(1)9 min；
(2)不相同；
(3)随着坡长的增加，速度逐渐变慢．
【例3】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
(2)哪个月份电动车的产量最高；哪个月份电动车的产量最低？
(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车的厂长应该怎么做？
【方法指导】(1)从表中可以看出电动车的月产量y随时间x的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是电动车的月产量；(2)(3)根据表中信息答题即可．
答案：(1)电动车的月产量y随着时间x的变化而变化，有一个时间x就有唯一一个y与之对应，月产量y是时间x的因变量；
(2)6月份电动车产量最高，1月份电动车产量最低；
(3)6月份和1月份相差最大，在1月份加紧生产，实现产量的增值．
◆活动4　随堂练习
1．小丽给远在外地的叔叔打电话，电话费随时间的变化而变化，在这个问题中，自变量和因变量分别是(C)
A．小丽和叔叔 B．小丽和电话费
C．时间和电话费 D．电话费和时间
2．苹果熟了，小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果．已知销售数量x(kg)与售价y(元)的关系如下：
数量x/kg 1 2 3 4 5
售价y/元 2.1 4.2 6.3 8.4 10.5
(1)上表反映了__售价y__和__数量x__两个变量之间的关系；__数量__是自变量，__售价__是因变量；
(2)根据表格中的数据，售价y是随销售数量的增大而__增加__的；
(3)估计当x＝15时，y的值是__31.5__．
(注：这里的售价y是指总价，不是指单价)
3．课本P63随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】1.你能找到生活情境中的自变量和因变量吗？
2．你能根据自变量和因变量之间的变化趋势进行预测吗？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P64习题3.1中的T1、T2、T3、T4、T5.
本节课通过学生的身高的变化引入章节知识，使得本课的知识引入自然，能让学生比较好地体会到变量的关系，感受身高是随年龄的变化而变化的．
在探究、练习的过程中学生能积极主动地思考、发言，有序地进行交流，教师通过问题驱动学生的思维过程，比较好地突破了重难点．

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