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2　提公因式法
第1课时　提公因式为单项式的因式分解
●置疑导入　一天，小军跟妈妈到超市买菜，在挑选完蔬菜以后，小军与妈妈一起走到称重处计价，小军看着计价器显示的西红柿1.47 kg，黄瓜2.06 kg，然后回头再看看西红柿的单价为1.6元/kg，黄瓜的单价为0.8元/kg，还没等到打价员按完便立刻说出了购买蔬菜的总价钱，在旁边的妈妈看着小军快速地计算出蔬菜价格，不禁夸赞小军真棒，就连计价员也表示很惊讶．
同学们，小军同学是采用什么样的计算方式快速地算出购买蔬菜的总价钱的？你们是否也能像小军一样快速地计算出相应的数据？
1．47×1.6＋2.06×0.8＝1.47×1.6＋1.03×1.6
＝(1.47＋1.03)×1.6
＝2.5×1.6
＝4(元)
【教学与建议】教学：通过实际生活中的例子引入新课学习，有助于学生意识到数学的重要性．建议：列举相应的购买经历让学生去尝试快捷计算，然后再去引出计算原理．
●情景导入　小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a m，小厅的长为b m，大厅的长为c m，三室长度均为d m，其中a＝3，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？
今天我们来学习公因式为单项式的因式分解，然后一起来解决这个问题．
【教学与建议】教学：通过日常实例导入课题，让学生知道数学与生活息息相关．建议：利用多媒体展示，学生独立思考、交流．
◎命题角度1　公因式的确定
寻找两个整式的公因式要注意以下几个方面：①定系数，即系数是多项式中各项系数的最大公因数；②定字母，即字母取各项的相同字母因式；③定指数，即相同字母的指数取最低幂．
【例1】多项式x2m＋xm提取公因式xm后，另一个因式是(B)
A．x2＋1 B．xm＋1
C．xm D．x2m＋1
【例2】多项式6xy＋3x2y－4x2yz3各项的公因式是(A)
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
◎命题角度2　提公因式法因式分解
提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
【例3】把多项式a2－9a因式分解，结果正确的是(A)
A．a(a－9) B．(a＋3)(a－3)
C．a(a＋3)(a－3) D．(a－3)2－6
【例4】下列各式的因式分解中，正确的是(C)
A．12xyz＋9x2y2＝3xyz(4＋3xy)
B．3a2y－3ay＋6y＝3y(a2－a－2)
C．－x2＋xy－xz＝－x(x－y＋z)
D．mn＋5mn－n＝n(m2＋5m)
◎命题角度3　利用提公因式法化简求值
解答因式分解与化简求值问题，关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．
【例5】若a＋b＝5，ab＝4，则a2b＋ab2＋4ab＝__36__．
【例6】若3a＝2，a－3b＝5，则3a2－9ab＝__10__．
◎命题角度4　利用提公因式法进行简便计算
解决这类问题的方法是：先用提公因式法因式分解，再计算．
【例7】计算(－2)2 023＋(－2)2 024的结果是(D)
A．－22 024 B．22 024 C．－22 023 D．22 023
【例8】计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4＝__314__．
高效课堂　教学设计
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法把多项式因式分解．
2．在具体问题中，能确定多项式中各项的公因式．
▲重点
会用提公因式法把多项式因式分解．
▲难点
正确地找出多项式各项的公因式．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．计算．
(1)m(a＋b＋c)＝__ma＋mb＋mc__；
(2)x(2x－4y＋1)＝__2x2－4xy＋x__；
(3)用简便方法计算×＋×＋×＝__×(＋＋)＝×4＝2__，依据是__乘法对加法的分配律__．
2．想一想：整式乘法与因式分解之间有什么关系？
b(a＋c)ab＋bc
ab＋bcb(a＋c)
ab＋bcb(a＋c)
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】提公因式法的概念
阅读课本95页例1上面部分，回答以下问题．
(1)多项式ab＋ac中，各项由哪些因式组成？各项有相同的因式吗？
(2)多项式ma＋mb＋mc各项含有的相同因式是什么？多项式x2＋4x呢？多项式mb2＋nb－b呢？
(3)多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的__公因式__；
(4)多项式2x2y＋6x2y2中各项的公因式是__2x2y__.
【归纳】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
【探究2】提公因式的方法
3x2＋6x3中各项的公因式是__3x2__，多项式3x2y＋6x3y2中各项的公因式是__3x2y__．
【归纳】提公因式的方法：(1)各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
提公因式法因式分解的步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式；(3)把多项式化成两个因式乘积的形式．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】观察下列各式：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【方法指导】①2a＋b和a＋b没有公因式；②5m(a－b)和－a＋b的公因式为(a－b)；③3(a＋b)和－a－b的公因式是(a＋b)；④x2－y2和x2＋y2没有公因式．
答案：B
【例2】把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3; (2)7x3－21x2；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab; (4)－24x3＋12x2－28x.
【方法指导】按提公因式法因式分解的步骤进行因式分解，找准公因式是关键．它们的公因式分别是：(1)x；(2)7x2；(3)ab；(4)－4x.当公因式第一项的系数是负数时，一般提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数．在提出“－”号时，多项式的每一项都要变号，另外不要漏项．
解：(1)3x＋x3＝x(3＋x2)；
(2)7x3－21x2＝7x2(x－3)；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab(8a2b－12b2c＋1)；
(4)－24x3＋12x2－28x＝－4x(6x2－3x＋7).
◆活动4　随堂练习
1．多项式6ab2＋24a2b2－12a3b2c的公因式是(C)
A．6ab2c B．ab2
C．6ab2 D．6a3b2c
2．分解－4x3＋8x2＋16x的结果是(D)
A．－x(4x2－8x＋16) B．x(－4x2＋8x－16)
C．4(－x3＋2x2－4x) D．－4x(x2－2x－4)
3．已知a－b＝5，ab＝6，求代数式a2b－ab2＋4ab的值．
解：a2b－ab2＋4ab＝ab(a－b＋4)＝6×(5＋4)＝54.
4．课本P96随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．提公因式法因式分解的步骤和注意事项是什么？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解和运用．
【作业】课本P96习题4.2中的T1、T2、T3.
本节课在提公因式法的教学中，我积极地通过各种形式调动学生的探究能力和意识，渗透数学思想方法，学生数学素养得以逐步提高．学生的主体性得到了体现．

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