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第四章
因式分解
1　因式分解
●归纳导入　拼图游戏：(老师多媒体出示)如图所示四个图形能不能拼成一个大的长方形？
思考：拼成前后它们的面积有什么样的关系？
图形①中：S＝x2＋3x＋2，图形②中：S＝(x＋1)(x＋2).因为前后的面积相等，所以x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积的形式，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．
【教学与建议】教学：通过一个拼图游戏导入新课，让学生感受它们面积相等，为新课的推出做好铺垫．建议：让学生独立思考并回答，归纳出因式分解的定义．
●复习导入　回忆七年级下册学习的整式乘法运算，填写下列空格．
公式类：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__；
(1)单×单：2a·3ab＝__6a2b__；(2)单×多：a(2a＋3b)＝__2a2＋3ab__；
(3)多×多：(x－2y)(3x＋y)＝__3x2－5xy－2y2__；(4)混合乘：a(a＋1)(a－1)＝__a3－a__．
【教学与建议】教学：复习整式乘法运算，其目的在于让学生了解因式分解实际上是整式乘法的逆运算，其运算原理还是在整式乘法上建立起来的．建议：用例题的方式展示出来，让学生各自填写后校正答案．
◎命题角度1　识别因式分解
判定所给的式子的变形是不是因式分解的方法：(1)看其结果的各项是不是都是整式；(2)看其结果是不是积的形式；(3)看左右两边是否相等．
【例1】下列式子从左到右的变形是因式分解的是(B)
A．a2＋5a－24＝a(a＋5)－24 B．a2＋5a－24＝(a－3)(a＋8)
C．(a－3)(a＋8)＝a2＋5a－24 D．a2＋5a－24＝(a＋2)2－24
【例2】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(C)
A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－xy＋y2＝(x－y)2
◎命题角度2　整式的乘法与因式分解的关系
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，是两种不同的变形方式，因式分解后因式的乘积一定等于原来的多项式．
【例3】(3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果(C)
A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2
C．9a2－y2 D．－9a2－y2
【例4】如果x2＋mx－15＝(x＋3)(x＋n)，那么m的值是__－2__，n的值是__－5__．
◎命题角度3　因式分解的简单应用
因式分解可以结合乘法分配律将整式化简．
【例5】利用简便方法计算57×99＋44×99－99正确的是(B)
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
【例6】通过计算说明255＋511能被30整除．
解：∵255＋511＝510＋511＝510×(1＋5)＝510×6＝59×30，∴255＋511能被30整除．
高效课堂　教学设计
1．理解因式分解的概念，能判断一个式子的变形是不是因式分解．
2．观察、比较和发现因式分解与整式的乘法的关系，培养学生的观察能力和归纳能力．
▲重点
了解因式分解的意义，会判断一个式子的变形是不是因式分解．
▲难点
了解因式分解与整式乘法的区别与联系．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(出示课件)：长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块如图所示，你能用不同的方法求出花坛的面积吗？
学生讨论回答：
花坛的面积S＝a(m＋n)或S＝am＋an.
由此可知：①a(m＋n)＝am＋an；
②am＋an＝a(m＋n).
引导学生分析这两个等式的不同：
①等式的左边是整式的积，右边是多项式(整式乘法)；
②等式的左边是多项式，右边是整式的积．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】因式分解的定义
1．想一想
993－99能被100整除吗？你是怎么想的？
小明同学是这样做的：
993－99＝99×992－99×1
＝99×(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－99能被100整除．
(1)在判断993－99能否被100整除时，你和小明都是怎样做的？
(2)993－99还能被哪些正整数整除？
解：(1)小明通过分解因数的方法，说明993－99这个算式是100的倍数，所以993－99能被100整除；
(2)993－99还能被98，49，2，11，9，99等正整数整除．
2．议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
解：a3－a＝a×a2－a×1＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1).
3．做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
(1)
__ma＋mb＋mc__＝__m(a＋b＋c)__
(2)
__x2＋x＋x＋1__＝__(x＋1)(x＋1)__
【归纳】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式．
【探究2】因式分解与整式乘法的关系
1．计算下列各式：
(1)3x(x－1)＝__3x2－3x__； (2)m(a＋b－1)＝__ma＋mb－m__；
(3)(m＋4)(m－4)＝__m2－16__； (4)(y－3)2＝__y2－6y＋9__．
2．根据上面的算式进行因式分解：
(1)3x2－3x＝(　3x　)(　x－1　)；
(2)ma＋mb－m＝(　m　)(　a＋b－1　)；
(3)m2－16＝(　m＋4　)(　m－4　)；
(4)y2－6y＋9＝(　y－3　)(　y－3　).
你有什么发现？
【归纳】第一组是把几个整式的积展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个整式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；
(2)m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
(4)2mR＋2mr＝2m(R＋r).
【方法指导】判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变形是不是把一个多项式改写成几个整式的积的形式．
解：(2)(4)是因式分解，因为符合因式分解的定义．
【例2】因式分解6x2＋ax＋10＝(3x＋2)(2x＋5)，则a＝________．
【方法指导】因式分解与整式乘法互逆，计算(3x＋2)(2x＋5)＝6x2＋19x＋10，所以a＝19.
答案：19
【例3】将如图所示四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解．
【方法指导】由题意可知，拼成的大长方形的长是(x＋2)，宽是(x＋1)，面积是(x＋2)(x＋1)，同时这四个图形的面积和这个大长方形面积相等．
解：x2＋x＋2x＋2＝(x＋2)(x＋1).
◆活动4　随堂练习
1．下列变形属于正确的因式分解的是(D)
A．x2－7x＋12＝x(x－7)＋12 　　B．x2－7x＋12＝(x－3)(x＋4)
C．(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12 　　D．x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)
2．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是(C)
A．都是因式分解 　　B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算 　　D．①是整式乘法运算，②是因式分解
3．3x(2x－y2)＝6x2－3xy2是__整式乘法__运算；6x2－3xy2＝3x(2x－y2)是__因式分解__运算．
4．课本P93随堂练习T1
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你有什么收获？
2．在探索因式分解的定义以及因式分解与整式乘法的区别时，我们运用了什么方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解和运用．
【作业】课本P94习题4.1中的T1、T2、T3、T5.
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透、螺旋式类比的方法进行教学．在概念引入时，进行从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识．

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