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第2课时　运用完全平方公式因式分解
●情景导入　由前面的学习，我们知道了因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形．因式分解除了提取公因式法和运用平方差公式法，还有其他的方法吗？本节课就让我们一起来研究因式分解的另一种方法．
例　在我们中学教学区有一块边长为a m的正方形草坪，现在校长想把这块草坪改种花卉，要求边长增加b m，形成四块区域，以种植不同的花卉，如图．为了估算所需购买花卉的总量，你能帮校长计算一下这块种植区的总面积吗？(多媒体出示)
【教学与建议】教学：通过让学生帮校长解决自己学校的一个问题的设计，培养学生自主探究的意识．建议：由图①②可得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，从而导入课题，利用完全平方公式因式分解．
●类比导入　我们知道，因式分解是整式乘法的逆过程．
1．把下列各式分解因式：
(1)25a2－16a2＝__(5a＋4a)(5a－4a)__；
(2)ax4－ax2＝__ax2(x＋1)(x－1)__．
2．填空：
(1)用整式乘法的完全平方公式填空：
①(a＋1)2＝(__a__)2＋2·__a__·__1__＋(__1__)2＝__a2＋2a＋1__；
②(a－b)2＝(__a__)2－2·__a__·__b__＋(__b__)2＝__a2－2ab＋b2__．
(2)观察第(1)题你会有什么发现？用你的发现尝试把下列多项式分解因式：
①a2－2a＋1＝(__a__)2－2·__a__·__1__＋(__1__)2＝__(a－1)2__；
②a2－2ab＋b2＝(__a__)2－2·__a__·__b__＋(__b__)2＝__(a－b)2__．
以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与分解因式的关系吗？
3．完全平方公式现在我们把完全平方公式反过来，可得到
【教学与建议】教学：让学生在复习旧知识的基础上，识别完全平方式，从而理解整式乘法与因式分解的关系．建议：让学生自己完成以上练习题，教师及时补充．
◎命题角度1　利用完全平方公式因式分解
因式分解要先提取公因式后，再看能否利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底．
【例1】因式分解3a2b－6ab＋3b的结果是(D)
A．3b(a2－2a) B．b(3a2－6a＋1)
C．3(a2b－2ab) D．3b(a－1)2
【例2】分解因式：3x3y－6x2y2＋3xy3＝__3xy(x－y)2__．
◎命题角度2　利用整体思想因式分解
利用公式法因式分解，既要注意两个公式的特征，又要注意整体思想的应用．
【例3】分解因式：
(1)9－6(x－y)＋(x－y)2＝__(x－y－3)2__；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2＝__(x＋y)2(x－y)2__．
◎命题角度3　利用完全平方公式因式分解进行简便运算
正确掌握完全平方公式，转化成(a±b)2的形式计算．
【例4】计算：
(1)342＋34×32＋162＝__(34＋16)2__＝__2_500__；
(2)38.92－77.8×48.9＋48.92＝__(38.9－48.9)2__＝__100__．
◎命题角度4　利用完全平方公式因式分解计算代数式的值
根据已知代数式的值计算另一代数式的值时，要先观察要求代数式的特征，把原式进行变形，转化成含已知代数式的形式，最后整体代入计算．
【例5】已知a＋b＝5，ab＝10，则代数式a3b＋a2b2＋ab3的值为__125__．
【例6】已知a＝7－3b，则式子a2＋6ab＋9b2＝__49__．
高效课堂　教学设计
1．会正确识别符合用完全平方公式因式分解的式子，会运用完全平方式因式分解．
2．综合运用提公因式法、完全平方公式法因式分解．
▲重点
用完全平方公式法进行因式分解．
▲难点
灵活地选用不同的方法进行因式分解．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．把下列各式因式分解：
(1)4a2－9b2；(2)ax4－ax2.
解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).
2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗？
3．填空：
(1)(x＋2)2＝__x2＋4x＋4__；
(2)(2x－y)2＝__4x2－4xy＋y2__；
反过来：(1)__x2＋4x＋4__＝(x＋2)2；
(2)__4x2－4xy＋y2__＝(2x－y)2.
以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】
在下面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式．
由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．
议一议：下列各式能用完全平方公式分解因式吗？如果能，把它分解出来；如果不能，请说明理由．
(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4xy＋4y2＋16；(3)4a2＋2ab＋b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2＋6x＋9.
解：(1)(5)能用完全平方公式分解因式；(2)(3)(4)不能用完全平方公式分解因式．
通过议一议让学生归纳完全平方式的特征：
1．必须是三项式(或可以看成三项的)；
2．有两个同号的平方项；
3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．
简记口诀：头平方，尾平方，乘积2倍在中央．
练一练(体验用完全平方公式因式分解的过程)：
a2＋6a＋9＝a2＋2×__a__×__3__＋(__3__)2＝(__a＋3__)2；
a2－12a＋36＝a2－2×__a__×__6__＋(__6__)2＝(__a－6__)2；
m2＋8m＋16＝m2＋2×__m__×__4__＋(__4__)2＝(__m＋4__)2；
x2－4xy＋4y2＝x2－2×__x__×__2y__＋(__2y__)2＝(__x－2y__)2.
【归纳】用完全平方公式法因式分解的关键是：判断一个多项式是不是一个完全平方式．左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
【方法指导】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即：
x2＋14x＋49＝x2＋2×x×7＋72＝(x＋7)2
头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2
在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：
(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝
(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n)－3]2
　　
头2 － 2 ·头 · 尾＋尾2＝ (头－ 尾)2
从以上两题可以发现先把多项式化成符合完全平方式a2±2ab＋b2的形式，然后再根据公式因式分解，并且公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
解：(1)原式＝(x＋7)2；
(2)原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
【例2】将下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
(2)－x2－4y2＋4xy.
【方法指导】在(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中如果把多项式的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式法因式分解．
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－(x－2y)2.
◆活动4　随堂练习
1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是(D)
A．8 B．16 C．2 D．4
2．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是__9__．
3．课本P102随堂练习T1
4．课本P102随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】这节课你的收获是什么？还有哪些困惑？
【教学说明】通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，加深对类比思想的理解．
【作业】课本P103习题4.5中的T1、T2、T3、T4.
逆用完全平方公式进行因式分解的关键是搞清完全平方公式的结构特点，等号左边是一个二项式的平方，等号右边是二次三项式．
本节课引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．善于观察出代数式的特点、相似点，能恰当运用换元法，是思维能力进一步提高的体现，对数学学习很重要．

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