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3　公式法
第1课时　运用平方差公式因式分解
●置疑导入　如图，图①涂色部分的面积＝__a2－b2__，图②将涂色部分进行分割，图③拼摆，涂色部分的面积＝__(a＋b)(a－b)__．
因为S①＝S③.所以a2－b2＝(a＋b)(a－b).
【教学与建议】教学：让学生自己动手，亲手拼一拼，动一动手来验证平方差公式．建议：数形结合证明得到平方差公式及因式分解，学生合作交流论证方法．
●归纳导入　活动内容：
问题1：我们在学习整式乘法时所学方差公式用字母表示是__(a－b)(a＋b)＝a2－b2__．
问题2：填空：
(1)(x＋2)(x－2)＝__x2－4__；
(2)(2x＋y)(2x－y)＝__4x2－y2__；
(3)(2m＋3n)(2m－3n)＝__4m2－9n2__．
问题3：(a－b)(a－b)＝a2－b2(整式乘法)
a2－b2＝(a－b)(a＋b)(因式分解)
【归纳】整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法．
【教学与建议】教学：让学生复习回顾前面所学方差公式，使学生能够熟练掌握平方差公式的特点，为本课的学习做铺垫．建议：问题1、2学生单独练习后小组讨论，问题3讨论交流．
◎命题角度1　用平方差公式进行因式分解
用平方差公式因式分解的特点是：(1)左边是二项式，两项都能写成平方的形式，并且符号相反；(2)右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项系数为正的那个数．
【例1】分解因式4x2－y2的结果是(C)
A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y)
C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y)
【例2】将(a＋1)2－1分解因式，结果正确的是(B)
A．a(a－1) B．a(a＋2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
◎命题角度2　提公因式法与平方差公式结合
因式分解的三步骤：一提，二套，三检验．
【例3】因式分解：
(1)a3－ab2＝__a(a－b)(a＋b)__；
(2)a－ax2＝__a(1－x)(1＋x)__；
(3)x2(a－b)＋(b－a)＝__(a－b)(x＋1)(x－1)__．
◎命题角度3　利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式解题，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
【例4】若＝8×10×12，则k的值为(B)
A．12 B．10 C．8 D．6
◎命题角度4　利用平方差公式因式分解解决实际问题
解决这类问题要数形结合，弄清楚题意，再列式．
【例5】将边长分别为(a＋b)和(a－b)的两个正方形按如图所示的方式摆放，则阴影部分的面积化简后的结果是__4ab__．
【例6】如图，将一边长为a cm的正方形纸片的四个角剪去一个边长为b cm的小正方形．用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积．
解：剩余部分的面积是(a2－4b2) cm2.
当a＝10，b＝1.5时，a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(10＋2×1.5)×(10－2×1.5)＝13×7＝91.
答：当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积为91 cm2.
高效课堂　教学设计
1．理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式．
2．经历通过平方差公式逆向运算的推导，感悟用公式法分解因式的过程．
▲重点
会用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)进行因式分解．
▲难点
公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中的a，b为多项式时的因式分解．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．填一填．
(1)(x＋3)(x－3)＝__x2－9__；
(2)(4x＋y)(4x－y)＝__16x2－y2__；
(3)(1－2x)(1＋2x)＝__1－4x2__；
(4)(3m＋2n)(3m－2n)＝__9m2－4n2__．
2．根据第1题填一填．
(1)x2－9＝__(x＋3)(x－3)__；
(2)16x2－y2＝__(4x＋y)(4x－y)__；
(3)1－4x2＝__(1－2x)(1＋2x)__；
(4)9m2－4n2＝__(3m＋2n)(3m－2n)__．
你有什么发现，这节课我们将学习这种类型的因式分解．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探究因式分解的平方差公式
问题1：观察多项式(1)x2－25，(2)9x2－y2，(3)9m2－4n2的特点，并尝试把它们分别写成两个因式的乘积的形式．
问题2：如果把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，你能发现有什么特点？
答案：
1．(1)(x＋5)(x－5)；(2)(3x＋y)(3x－y)；(3)(3m＋2n)(3m－2n).
2．a2－b2＝(a＋b)(a－b).
公式特点：①公式左边：是一个多项式，含有两项，且这两项异号，并且能写成a2－b2的形式；
②公式右边：是分解的结果，是乘积的形式，是两个底数的和乘两个底数的差．
【归纳】因式分解的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
做一做：
判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式．
①x2－1；②x2＋y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤m2－n2；⑥(a＋b)2＋(c＋d)2；⑦(a＋b)2－(c＋d)2.
观察思考，能用平方差公式来分解因式的是__①③⑤⑦__．
【探究2】利用平方差公式进行因式分解
1．把下列各式因式分解：
(1)25－16x2；(2)9a2－b2.
分清公式中的a和b，再应用公式进行因式分解．
解：(1)25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
(2)9a2－b2＝(3a)2－(b)2＝(3a＋b)(3a－b).
2．把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2)2x3－8x.
因式分解的一般步骤：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止．
解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2
＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)；
(2)2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2).
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】因式分解：
(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.
【方法指导】(1)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行因式分解，而其中因式a2－b2仍可以继续用平方差公式因式分解；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步因式分解．
解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；
(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y).
【例2】因式分解：
(1)(a＋b)2－4a2; (2)m4－1.
【方法指导】将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式因式分解．
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(m2＋1)(m＋1)(m－1).
◆活动4　随堂练习
1．下列各式：x2－y2，－x2－y2，(－x)2＋(－y)2，－x2＋y2，x4－y4，其中能用平方差公式因式分解的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是(C)
A．3(x2－9) B．3(x－3)2
C．3(x＋3)(x－3) D．3(x＋9)(x－9)
3．计算752－252的结果为__5_000__．
4．课本P100随堂练习T1
5．课本P100随堂练习T2
6．课本P100随堂练习T3
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你有什么收获？
2．在探究因式分解的平方差公式时，我们运用了哪些方法？什么样的式子可以用平方差公式进行因式分解？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加强利用平方差公式进行因式分解的理解和运用．
【作业】课本P100习题4.4中的T1、T2、T3.
本节课先复习平方差公式，再逆用平方差公式解决问题，紧接着引出如何利用平方差公式进行因式分解，为学习新课做好准备．
用公式法进行因式分解，虽然应用的公式并不难，但要灵活应用于解题却不容易．运用平方差公式进行因式分解关键是要搞清平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的结构特点．
存在的问题：①不会找a，b；②思维僵化，灵活运用公式的能力较差．在教学中充分发挥小组之间的互助作用和教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展．

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