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第2课时　提公因式为多项式的因式分解
●置疑导入　1.把下列各式因式分解：
(1)am－an＝__a(m－n)__；
(2)a2b＋4ab＝__ab(a＋4)__；
(3)x2y－xy2＋xy＝__xy(x－y＋1)__；
(4)－3x2y－6xy2＋3xy＝__3xy(－x－2y＋1)__．
2．某学校有三块草坪，第一块草坪的面积为(a＋b)2 m2，第二块草坪的面积为a(a＋b) m2，第三块草坪的面积为b(a＋b) m2，这三块草坪的总面积是多少？
【教学与建议】教学：先回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．建议：问题1学生口答后，讨论问题2的解法，辨别以上两个问题的不同，进一步提问：“公因式可以是多项式吗？你能用提公因式法解决第2题吗？”
●复习导入　问题1：什么是多项式的公因式？如何确定公因式？
问题2：什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法分解因式的步骤有哪些？
问题3：把下列各式因式分解：
(1)3am－6m；(2)m2n＋mn2－mn；(3)－5x2y＋10xy2－5xy.
问题4：如何利用提公因式法对多项式a(x＋2)－2b(x＋3)进行因式分解呢？
【教学与建议】教学：复习有关提公因式法的基本方法与步骤，引导学生通过类比将提取“公因式为单项式”的方法与步骤推广到“公因式为多项式”．建议：问题1，2由学生思考回答，问题3让学生板演．问题4的设置为引入新课做铺垫．
◎命题角度1　整体提公因式法
提公因式法可以利用口诀“找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶”．
【例1】因式分解(x－y)2－(y－x)应为(C)
A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1)
C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)
【例2】因式分解：m(5－m)＋2(m－5)＝__(5－m)(m－2)__．
◎命题角度2　变形后提公因式
多项式的因式中出现符号相反的因式时，应先提出“－”号，将它们变为相同的形式，提出“－”号时要注意括号里面的各项都要变号．
【例3】多项式x2y(a－b)＋xy(b－a)－y(a－b)提公因式后，另一个因式为(C)
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1
C．x2－x－1 D．x2＋x－1
【例4】因式分解a(a－b－c)＋b(c－a＋b)＋c(b－a＋c)的结果是(D)
A．(a＋b－c)2 B．(a－b－c)(a＋b－c)
C．－(a－b－c)2 D．(a－b－c)2
◎命题角度3　利用提公因式法求代数式的值
首先要对原式正确因式分解，然后再“对号入座”，即可求得对应未知字母的值．
【例5】已知代数式3y2－2y＋6的值为8，则代数式9y2－6y＋1＝__7__．
【例6】不解方程组求代数式7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
解：原式＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(7y＋2x－6y)
＝(x－3y)2(2x＋y).
把代入，得原式＝12×6＝6.
高效课堂　教学设计
1．进一步理解公因式和提公因式的意义，掌握用提公因式法进行因式分解．
2．掌握公因式为多项式的因式分解．
▲重点
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解．
▲难点
准确找出公因式，并能正确进行因式分解．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(出示课件)填一填：
1．我们把多项式各项都含有的__相同因式__，叫做这个多项式各项的公因式．
2．确定公因式的方法：(1)取各项系数(包括常数项)的__最大公约数__作为公因式的系数；(2)取各项中都含有的相同字母(或相同因式)的__最低次幂的积__作为公因式的因式．
3．把下列各式因式分解：
(1)am＋an＝__a(m＋n)__；
(2)a2b－5ab＝__ab(a－5)__；
(3)m2n＋mn2－mn＝__mn(m＋n－1)__；
(4)－2x2y＋4xy2－2xy＝__－2xy(x－2y＋1)__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】练一练
小组讨论，对比公因式是单项式的多项式的因式分解方法，分析如何进行因式分解．
把下列各式因式分解：
(1)a(x－3)＋2b(x－3)；
(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
解：(1)原式＝(x－3)(a＋2b)；
(2)原式＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出；写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面；提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项．
【探究2】做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：
(1)2－a＝__－__(a－2)；
(2)y－x＝__－__(x－y)；
(3)b＋a＝__＋__(a＋b)；
(4)(b－a)2＝__＋__(a－b)2；
(5)－m－n＝__－__(m＋n)；
(6)－s2＋t2＝__－__(s2－t2).
【归纳】(1)当n为整数时，(y＋x)n＝(x＋y)n；(2)当n为偶数时，(y－x)n＝(x－y)n；当n为奇数时，(y－x)n＝－(x－y)n；(3)当n为偶数时，(－y－x)n＝(x＋y)n；当n为奇数时，(－y－x)n＝－(x＋y)n.
【探究3】试一试
把下列各式因式分解：
(1)a(x－y)＋b(y－x)；
(2)6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1)原式＝(x－y)(a－b)；
(2)原式＝6(m－n)2(m－n－2).
总结：口诀“找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶”．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】指出下列各多项式中的公因式：
(1)15a(x－y)3＋10(x－y)4；
(2)21a2b(2x－3y)2－14a(3y－2x)2.
【方法指导】先确定各项系数的最大公约数，再考虑各项中相同字母(相同因式)的最低次幂．
解：(1)5(x－y)3；
(2)7a(2x－3y)2.
【例2】把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)a(m－2)＋b(2－m)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；
(4)2(y－x)2＋3(x－y).
【方法指导】先找出公因式，再用各项式的每一项去除以这个公因式．
解：(1)原式＝(a＋b)(x＋y)；
(2)原式＝(m－2)(a－b)；
(3)原式＝6(p＋q)(p＋q－2)；
(4)原式＝(x－y)(2x－2y＋3).
【例3】先化简，再求值：a(8－a)＋b(a－8)－c(8－a)，其中a＝1，b＝，c＝.
【方法指导】数值直接代入麻烦，可以观察代数式，先用提公因式法化简，再代入数值求解．
解：原式＝(8－a)(a－b－c)，
把a＝1，b＝，c＝代入，得
原式＝(8－1)×(1－－)＝0.
◆活动4　随堂练习
1．把4(a－2)＋a(2－a)提取公因式(a－2)后，另一个因式是(C)
A．a－4 B．a＋4
C．4－a D．4＋a
2．下列各式正确的是(D)
A．－x＋y＝－(y－x) B．x－y＝－(x＋y)
C．10－m＝5(2－m) D．5－7a＝－(7a－5)
3．把－8(x－y)2－4y(y－x)2分解因式，结果是(A)
A．－4(x－y)2(2＋y) B．－(x－y)2(8－4y)
C．4(x－y)2(y＋2) D．4(x－y)2(y－2)
4．若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－15，则ab的值是__－3__．
5．课本P98随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】这节课你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对类比思想的理解．
【作业】课本P98习题4.3中的T1、T2、T3.
在本节课的教学中，我发现学生对“分解因式”的基本知识的掌握并不像我所想象的那么好，所以课堂上我采用“低起点、多归纳、勤练习、快反馈”的教学方法，讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现，培养学生的类比思想、整体思想，这样既调节了学生的注意力，又使学生大量参与课堂学习活动，教学效果显著．

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