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第六章
平行四边形
1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角特征
●置疑导入　活动内容：请同学们完成下列问题．
问题1：什么是中心对称？
中心对称是如果把一个图形绕着某个点旋转180°，它能够与另一个图形重合，我们称这两个图形成中心对称．
问题2：如图，已知△ABD，O是BD的中点，你能作出△ABD关于点O成中心对称的图形吗？
问题3：你知道这两个三角形所围成的是什么四边形吗？
【教学与建议】教学：先复习中心对称的定义，再让学生作出△ABD关于点O成中心对称的图形，猜测出是平行四边形．建议：学生动手操作后再采用动画演示，使学生直观感受平行四边形的形成过程．
●归纳导入　小组活动：
同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张．将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边拼接，得到一个四边形．
(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；
(2)给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，并用简洁的语言描述这个图形的特征；
(3)生活中常见的平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？
【归纳】平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，如平行四边形ABCD中，AD∥BC且AB∥DC.平行四边形可用符号“ ”表示．
【教学与建议】教学：通过学生动手实践，归纳平行四边形的概念，使学生感受数学来源于生活．建议：给学生充分的时间探究、交流，体会平行四边形的特征．
◎命题角度1　利用性质求角度
平行四边形中涉及很多相等的线段和角，在解决问题时要灵活利用其性质．
【例1】如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点．若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)
A．45° B．55° C．65° D．75°
　　　
【例2】如图， ABCD中，AD＝BD，∠ADB＝32°，则∠C的度数为__74°__．
◎命题角度2　利用性质求长度
此类问题涉及求平行四边形的边长、周长等．考查学生合理利用平行四边形的性质，结合角的平分线等知识灵活解题．
【例3】如图，若平行四边形ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(D)
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
　　　　　
【例4】如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__10__．
◎命题角度3　利用性质证明
平行四边形的性质中涉及很多相等的线段和角，为证明全等提供了充足的条件，要根据题目的具体情况，选择适当的条件解决问题．
【例5】如图，在 ABCD中，AE⊥BC交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠D＝∠B.
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠DFG＝∠BEA＝90°.
∵DF＝BE，∴△DFG≌△BEA(ASA).
∴DG＝AB，∴DG＝DC.
◎命题角度4　巧用平行四边形的中心对称解题
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
【例6】把 ABCD放入平面直角坐标系中，已知对角线的交点为原点，点A的坐标为(3，－2)，则点C的坐标为(A)
A．(－3，2) B．(3，2)
C．(－2，3) D．(2，3)
【例7】如图，已知 ABCD的面积为24，EF，GH过AC，BD的交点O，则图中阴影部分的面积为__6__．
◎命题角度5　平行四边形与等腰三角形综合应用
平行四边形的性质与等腰三角形等边对等角综合运用时，要全面考虑，灵活应用．
【例8】在 ABCD中，∠DAB的平分线分对边BC为3 cm和5 cm两部分，则 ABCD的周长为(D)
A．22 cm B．26 cm
C．11 cm或13 cm D．22 cm或26 cm
【例9】如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB＝3，AD＝5，则EF的长为__1__．
高效课堂　教学设计
1．掌握平行四边形的概念和平行四边形对边相等、对角相等的性质．
2．能够根据平行四边形的性质进行简单的推理和计算．
▲重点
平行四边形的定义以及平行四边形的性质．
▲难点
平行四边形的性质的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
请您欣赏：(课件)
这几幅图片里有你所熟悉的哪些图形？平行四边形是我们常见的图形，具有一种和谐的对称美．它是什么样的对称图形？具有哪些基本性质呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
平行四边形的概念
请同学们将你准备的纸片对折，剪下两张叠放的三角形纸片，把它们相等的一组对边拼接，想办法拼出一个平行四边形，并完成下面的问题．(课件出示)
1．两张三角形纸片你可以拼出几种形状不同的平行四边形？展示你们所拼成的平行四边形．
2．在你拼成的图形中有没有互相平行的线段？你是怎样得到的？
图形展示：
请同学们自学教材第135页，再填一填．
1．__两组对边分别平行的四边形__叫做平行四边形．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，记作__ ABCD__.读作“__平行四边形ABCD__”．(教师强调：四个顶点顺序可以顺时针读，也可以逆时针读)．
3．__平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段__叫做它的对角线．如图，__线段AC，BD__是 ABCD的对角线．一个平行四边形有两条对角线．
4．若已知四边形ABCD是平行四边形，则能得到哪些结论？
平行四边形的两组对边分别平行．
用几何语言表述：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC.
【探究2】平行四边形的性质
请同学们拿出你们准备的两个全等的平行四边形，议一议．
1．平行四边形是轴对称图形吗？如果是，请找出对称轴；如果不是，请说明理由．
2．平行四边形是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心；如果不是，请说明理由．
3．你能验证你的猜想吗？
4．你还发现平行四边形的哪些性质呢？
学生思考后，利用课件结合图形引导学生回答问题：
1．在这个过程中，你们还有哪些发现？你是如何判断的？
AB＝__CD__，BC＝__AD__，∠B＝__∠D__，∠A＝__∠C__．
2．是不是所有的平行四边形都具有上述结论？你能用自己的语言表述吗？
【归纳】(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
(2)平行四边形的对边相等．
(3)平行四边形的对角相等．
【探究3】平行四边形的性质定理
已知：如图①，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA.
　　
证明：如图②，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD(平行四边形的定义)，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴AB＝CD，BC＝DA.
请证明：平行四边形的对角相等．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠DAC，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠ACD.
即∠BAD＝∠BCD.
∵∠BAD＋∠B＝180°，∠BAD＋∠D＝180°，
∴∠B＝∠D.
【归纳】性质定理：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知：如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
【方法指导】平行四边形的对边平行且相等，可得到AB＝CD，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD，再因为AE＝CF，利用SAS证明△ABE≌△CDF，得到BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义)，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
【例2】如图，在 ABCD中，∠A－∠B＝40°，求 ABCD各个内角的度数．
【方法指导】由平行四边形的对角相等，可得出∠A＝∠C，∠B＝∠D.由平行四边形的定义，可得AD∥BC，故∠A＋∠B＝180°，结合已知条件列二元一次方程组可求得各角度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°.①
又∵∠A－∠B＝40°，②
∴由①②组成方程组，解得
∠A＝110°，∠B＝70°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝110°，∠D＝∠B＝70°.
◆活动4　随堂练习
1．在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(D)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1
C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1
2．若 ABCD的周长为20 cm，△ABC的周长为16 cm，则对角线AC的长是(C)
A．5 cm B．15 cm
C．6 cm D．16 cm
3．在 ABCD中，∠A＋∠C＝260°，则∠B＝__50°__，∠C＝__130°__．
4．课本P137随堂练习T2.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你有什么收获？
2．在探索平行四边形的性质定理时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平行四边形的两个性质定理的理解和运用．
【作业】课本P137习题6.1中的T1、T2、T3、T4.
本节课从生活的实例中发现平行四边形，让学生感受到数学与我们的生活紧密联系，充分调动学生的好奇心与探究欲，导出课题．平行四边形的定义和性质，通过学生自己动手实践操作、观察、验证，小组合作探讨得到．

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