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第2课时　平行四边形的对角线的性质
●归纳导入　
如图，在纸上画 ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边缘画一个与 ABCD相同的 EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转180°后，它能与 EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的 ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
可以得到： ABCD的对边相等，对角相等．
可以发现：OA与OC，OB与OD可以完全重合，即OA＝OC，OB＝OD，这节课我们来继续学习平行四边形的性质．
【教学与建议】教学：用实际操作发现平行四边形的性质，既激发了学生学习新知识的积极性和主动性，又让学生感知到数学知识来源于实际生活．建议：让学生在操作观察思维中感知新知识．
●复习导入　问题1：上节课我们学行四边形的性质，现在请大家在练习本上画一个 ABCD，然后根据这个图形回答边、角有什么性质．
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补．
问题2：如图， ABCD的对角线为线段AC、线段BD，对角线之间有什么样的关系呢？
【教学与建议】教学：复习平行四边形边和角的性质，为下面进一步的学习打下基础，同时又能激起学生探究知识的积极性．建议：回答问题后，接着提出问题2，引导学生从平行四边形对角线上去探究．
◎命题角度1　利用平行四边形对角线性质进行证明
平行四边形的对角线互相平分．理解OA＝OC，OB＝OD，结合平行四边形的其他性质即可解决．
【例1】如图，已知 ABCD和 EBFD.求证：AE＝CF.
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和四边形EBFD为平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF.
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
【例2】如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于O点，点E，F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，
又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，
∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
◎命题角度2　利用平行四边形对角线性质确定边的范围
此类问题考查平行四边形的边及对角线的性质，结合三角形三边关系，确定边的范围．
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(C)
A．2 cmC．1 cm◎命题角度3　利用平行四边形对角线互相平分求线段长度
解决两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的周长与对角线的关系：相对的两个小三角形周长相等，相邻的两个小三角形周长的差就是平行四边形邻边长度之差．
【例4】如图，在平行四边形ABCD中(BC>AB)，对角线AC，BD交于点O.已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(D)
A．5 B．6 C．7 D．8
　　
【例5】如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为__12__．
高效课堂　教学设计
1．掌握平行四边形中心对称特征；探索平行四边形的对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和简单的证明．
▲重点
探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．
▲难点
探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
首先给大家讲一个故事(课件)：一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定将这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少，同学们，老人这样分地合理吗？
师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来研究平行四边形对角线的性质．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探索平行四边形对角线的性质
请同学们在纸上画两个全等的 ABCD和 EFGH裁剪下来，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O，O′.把这两个平行四边形叠放在一起，使O，O′重合在一起，在点O处钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转180°，观察它还和 EFGH重合吗？你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质？
小组合作，得出探究结论：
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
【探究2】平行四边形对角线性质的证明
已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义)，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
∴△ABO≌△CDO，
∴OA＝OC，OB＝OD.
【归纳】平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB，CD是它的两条对角线，
∴OA＝OC，OB＝OD.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
【方法指导】利用平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，从而得到所要求证的OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分)，
AD∥BC(平行四边形的定义)．
∴∠ODE＝∠OBF.
∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF.
∴OE＝OF.
【例2】已知 ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
【方法指导】平行四边形的对边相等，可得到AB＋AD＝30 cm，由平行四边形的对角线互相平分可得到OB＝OD，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，实际上就是AB－AD＝5 cm，根据AB＋AD＝30 cm，AB－AD＝5 cm，求出 ABCD的各边长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
∴AB－AD＝5 cm.
又∵ ABCD的周长为60 cm，
∴AB＋AD＝30 cm，
∴AB＝17.5 cm，AD＝12.5 cm，
则AB＝CD＝17.5 cm，AD＝BC＝12.5 cm.
◆活动4　随堂练习
1．如图，在 ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜5__．
　　　
2．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝4，△OCD的周长为12，则 ABCD的两条对角线长度的和是__16__．
3．如图，已知在 ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝12 cm，BD＝6 cm，求BC的长．
解：3 cm.
4．课本P139随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？
2．利用平行四边形可以解决哪些问题？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平行四边形对角线性质定理的理解．
【作业】课本P139习题6.2中的T1、T3、T4.
本节课的内容较为简单，对于性质的证明也只是用三角形全等去研究．在教学中注意渗透解决四边形问题时可以转化成三角形的转化思想．学生在写已知和求证时遇到困难，以后在这方面要加强练习．对于性质的应用先从最简单的计算开始，避免学生不用今天所学的性质进行计算，而是先证明全等再寻找线段相等关系．当我们遇到这类问题的时候，应该是帮学生打开思路，让他们豁然开朗．

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