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第2课时　平行四边形的判定定理3
●置疑导入　问题1：如图①，点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有几种？请说明理由．
问题2：如图②，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．能说说这样做的道理吗？
问题3：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图③的四边形．
设疑：你认为这个四边形是平行四边形吗？
【教学与建议】教学：问题1为这节课做好铺垫．创设的问题2，检查学生对新知识的预习情况．建议：问题1找几名学生口答并说明理由．对于问题2，先独立思考再找学生发言．由问题3导入新课，观察猜想．
●复习导入　问题1：平行四边形的定义是什么？
问题2：平行四边形的性质有哪些？
问题：3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
【教学与建议】教学：通过巩固平行四边形的定义和所学过的判定定理，为本课平行四边形的判定的综合运用做准备．建议：让学生直接回答，教师给予补充和说明．
◎命题角度1　利用对角线判定平行四边形
证明一个四边形是平行四边形时，证明这个四边形的对角线互相平分即可．
【例1】如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点．求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥CB，
∴∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE＝OF.
同理可得：OG＝OH.
∴四边形EGFH为平行四边形．
【例2】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，∵
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
◎命题角度2　灵活运用平行四边形判定方法
此类题目考查学生能否灵活判定平行四边形，应观察题目所给条件选择适当的判定方法来解答．
【例3】 ABCD中对角线AC与BD交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝CD D．AC⊥BD
【例4】如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
解：(1)∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝CD.
∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.
∴∠BCD＝∠BAD.
又∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，
∴AB∥DF.
∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AF∥BD.
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵AF＝DF＝5，四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝BD＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x.
在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即x2＋AE2＝52，
在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，即(5－x)2＋AE2＝62，
∴(5－x)2－x2＝62－52.
解得x＝，把x＝代入x2＋AE2＝52，得AE＝.
∴AC＝2AE＝.
高效课堂　教学设计
1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这个判定定理．
2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这个判定定理，并会简单运用．
▲重点
平行四边形判定方法的探究、运用．
▲难点
对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．一位同学将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
想一想：
1．平行四边形的边有什么性质？
2．当四边形的对边满足什么条件时能得到平行四边形？
3．平行四边形的对角线有什么性质？
4．对角线相等的四边形是平行四边形吗？
这节课我们将利用对角线互相平分来判定四边形是否是平行四边形．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO，∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
【归纳】我们又得出平行四边形的一个判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．它可以直接成为我们证明命题的依据．
几何语言描述为
四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
　
【方法指导】先利用 ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD.又因为AE＝CF，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，利用平行四边形的判定定理3得到四边形BFDE是平行四边形．
证明：如图②，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)．
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
【例2】(1)对于上述例题，若将条件“AE＝CF”改为“E，F是OA，OC的中点”，则结论还成立吗？
(2)对于上述例题，如图，若将点E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE＝CF，则结论还成立吗？
【方法指导】平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用．
解：(1)成立．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵E，F是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)成立．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
◆活动4　随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC＝AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有(B)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．
解：35°.
4．课本P144随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．通过这节课的学习，你学到了哪些知识？
2．归纳：平行四边形的判定方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平行四边形判定定理的理解．
【作业】课本P145习题6.4中的T1、T2、T3.
通过复习巩固平行四边形的性质，利用情境问题引导学生思考对角线对四边形的影响，类比前面的性质与判定，大胆猜测对角线互相平分的四边形是平行四边形，既引入新课，又体会数学的类比思想．利用探究活动开展探索平行四边形的判定方法，强调推理的规范性，精选随堂练习，学生掌握情况较好．

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