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第2课时　多边形的外角和
●归纳导入　问题：
(1)三角形的外角是指三角形__内角__的一边与另一边的__反向延长线__所组成的角．
(2)三角形的外角等于与它不__相邻__的两个内角的和．
(3)如图，你能计算∠DAE＋∠ECF＋∠ABF的度数和吗？
解：∠DAE＋∠ECF＋∠ABF＝∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＋∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠BAC＋∠BCA)×2＝180°×2＝360°.
【教学与建议】教学：通过创设问题情境，激发学生探究的积极性．对比三角形的外角和，归纳得出多边形的外角和定义．建议：提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述．
●悬念激趣　展示一组图片，教师做简短介绍．
苏炳添为亚洲9秒关口第一人，是继刘翔之后中国田径赛场上的新纪录．
运动会上，你们在学校的跑道上尽情挥洒汗水，你们奋力拼搏的精神令人感动！
习惯了学校里的环形跑道，绕着这个多边形跑道(如图)跑步，你会有什么样的感觉？今天我们要探究的内容就和这些“多边形跑道”有关，让我们一起尽情体验吧！
【教学与建议】教学：借助当前热点人物引发学生共鸣，由学校操场环形跑道引出“多边形跑道”，导入课题．建议：先展示中国田径赛场新标志苏炳添的图片，紧接着展示学校跑道和比赛的相关图片，导入多边形的外角及外角和．
◎命题角度1　已知外角求正多边形边数
求正多边形边数，可利用外角和360°，用外角和除以一个外角的度数即可求出边数．
【例1】若正n边形的一个外角为36°，则n的值为__10__；若正n边形的一个外角为60°，则n的值为__6__．
◎命题角度2　内角和与外角和综合题
此类题目知道内角和与外角和的关系，往往通过列方程解决．
【例2】若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．
【例3】一个正多边形每个外角是60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．
◎命题角度3　内角转化为外角
已知多边形每个内角都相等，一般转化为外角，利用外角和定理求边数．
【例4】一个n边形变成(n＋1)边形，外角和将(D)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
【例5】正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n的值为__12__．
◎命题角度4　利用多边形内外角关系求角的度数
此类题目常用知识点有：①多边形相邻的内、外角为互补关系；②多边形外角和为360°.有时还要用到方程思想或者整体思想进行代换求角度．
【例6】如图所示的六边形花环是用六个大小和形状完全一样的直角三角形拼成的，则∠ABC的度数为__30°__．
　　　
【例7】如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)
A．90° B．180° C．120° D．270°
◎命题角度5　与多边形内角和及外角和有关的实际应用
解决这类题的关键是综合在一个或两个几何图形中，然后利用内角和公式、外角和公式求解．
【例8】将两张三角形纸片如图所示摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5的度数为__40°__．
【例9】如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m后左转40°，照这样走下去，当他第一次回到出发点A时，请问：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走的路线是正n边形．
由题意，得n＝＝9.
所以行走路线是正九边形；
(2)8×9＝72(m).
答：一共走了72 m．
高效课堂　教学设计
1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．
2．探索多边形的外角和定理，利用内角和与外角和定理解决实际问题．
▲重点
探索并掌握“多边形外角和等于360°”．
▲难点
灵活运用多边形内角和与外角和定理解决有关问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
你的思路与小刚一样吗？与同伴交流．
想一想：如果广场的形状是六边形，八边形，那么结果会怎样？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】多边形的外角和定理
阅读课本155到156页，完成两个问题：
(1)多边形的外角与外角和的定义是什么？你能够在图上标出外角吗？
(2)多边形的外角和是多少度？
【归纳】①多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
②探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
方法1：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究；
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …
图形 …
外角和 360° 360° 360° 360° …
　　方法2：由n边形的内角和等于(n－2)·180°出发，探究问题．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
【方法指导】多边形的内角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.
根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，
解得n＝8.
所以，这个多边形是八边形．
【例2】(1)如图①，△ABC的各边长都大于2，分别以顶点A，B，C为圆心，以1为半径画圆，则阴影部分的面积为________；
(2)如图②，将(1)中的△ABC换成四边形ABCD，其他条件不变，则阴影部分的面积为________；
(3)如图③，将四边形换成五边形，则阴影部分的面积为________；
(4)根据(1)(2)(3)中的结论，你能总结n边形的情况吗？
　　 　　
【方法指导】图①②③中各个阴影扇形之和正好分别构成0.5个、1个、1.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
解：(1)
(2)π
(3)
(4)n边形阴影部分的面积是.
◆活动4　随堂练习
1．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是(D)
A．十一边形 B．十二边形
C．八边形 D．九边形
2．一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2，那么这个多边形的边数是(A)
A．13 B．12 C．11 D．10
3．一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是__720°__．
4．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__180°__．
　　　
5．如图，小亮从点A出发前进5 m，向右转15°，再前进5 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了__120__m.
6．课本P156随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探索多边形的外角和定理时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P157习题6.8中的T1、T2、T3、T4、T5.
本课时应以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中应尽量围绕学生，发挥学生丰富的想象力，让学生自己总结出多边形的内角和与外角和定理，让学生体会到由自己探索从而得出定理的成功的喜悦．
教师引导学生分组探究，让学生充分参与到活动中，训练学生的探究能力，合作能力以及语言组织表达能力，课堂气氛热烈，效果很好．

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