资源简介

3　三角形的中位线
●置疑导入　课件出示：如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的长度了．这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问．
【教学与建议】教学：创设生活情景，激发学生的学习兴趣，引出概念．建议：课件展示中位线，学生读图、审题，确立探究方向．
●情景导入　如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F是边AB，AC的中点，量得EF＝5 m，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？
学了今天的知识，我们就能解决这个问题了．
【教学与建议】教学：情景导入课题，激发学生求知热情．建议：猜想EF∥BC，EF＝BC.由此导入课题．
◎命题角度1　利用三角形中位线定理进行计算
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．关键找准中位线所在的三角形进而求解．
【例1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为__20__．
　　
【例2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝20 cm，△OAB的周长是14 cm，则EF的长为__2__cm.
◎命题角度2　中点四边形
连接四边形各边中点得到中点四边形．根据中位线的性质判断中点四边形的形状是平行四边形．
【例3】如图，任意四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H.若对角线AC的长为24 cm，BD的长为20 cm，则四边形EFGH的周长是(B)
A．48 cm B．44 cm C．40 cm D．80 cm
【例4】我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；
(2)请证明你的结论．
解：连接AC，∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，
同理可证：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
◎命题角度3　中位线定理的综合应用
中位线性质不仅反映线段之间的位置关系，也能揭示数量关系，当题目中出现中点时，考虑用中位线解题．
【例5】如图，在长方形ABCD中，R为CD上一定点，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P从点B向点C移动时，线段EF的长度(C)
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．无法确定
【例6】如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
(1)求证：△ABF≌△ECF；
(2)求AB与OF有怎样的数量关系．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CD＝CE，∴AB＝CE.
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠E，且∠AFB＝∠CFE.
∴△ABF≌△ECF(AAS)；
(2)∵△ABF≌△ECF，∴BF＝CF.
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.
高效课堂　教学设计
1．理解三角形的中位线的概念，能区别三角形的中线，会证明三角形的中位线定理．
2．能正确应用三角形中位线定理解决问题．
▲重点
三角形中位线定理及其应用．
▲难点
证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：(1)剪一个三角形，记为△ABC；(2)分别取AB，AC中点D，E，连接DE；(3)沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2．思考：四边形BCFD是平行四边形吗？△ADE≌△CFE可得AD＝CF＝BD，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形．
3．探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】三角形中位线的概念
如图中DE就是△ABC的中位线．
三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线．同理EF，DF也是△ABC的中位线．一个三角形有三条中位线．
注意：三角形中线和中位线的区别．中位线是两边中点的连线，中线是顶点和对边中点的连线．
【探究2】三角形的中位线定理
你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
思考：如图，若四边形BCFD是平行四边形，D，E分别为AB，AC的中点，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE＝BC.
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD，
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF＝BC(平行四边形的对边相等)，
∴DE∥BC，DE＝BC.
【归纳】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
用几何语言叙述：如图，如果DE是△ABC的中位线，那么：(1)DE∥BC；(2)DE＝BC.
作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为________．
【方法指导】∵ ABCD的周长为36，∴2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18.∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，∴OD＝OB＝BD＝6.又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，∴OE＝BC，∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋(BC＋CD)＝6＋9＝15，即△DOE的周长为15.
答案：15
【例2】如图，顺次连接四边形ABCD的四条边的中点E，F，G，H，所得的四边形EFGH有什么特点？
　　
【方法指导】如图②，连接BD，将四边形ABCD分成了两个三角形：△ABD与△CBD.根据中位线定理的内容可以知道：EH，GF分别是△ABD和△CBD的中位线，进而可以知道EH，GF与BD的位置和数量关系分别是：都平行于BD且都为BD的一半．根据平行四边形的判定方法可以知道四边形EFGH为平行四边形．
解：四边形EFGH是平行四边形．
理由如下：连接BD.
∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
∵GF为△BCD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH綊GF，
∴四边形EFGH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)．
◆活动4　随堂练习
1．如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)
A．线段EF的长度逐渐增大 B．线段EF的长度逐渐减小
C．线段EF的长度不改变 D．线段EF的长度不能确定
2．已知一个三角形的三条中位线的长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，求这个三角形的周长为__18_cm__．
3．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为__3__．
4．课本P152随堂练习T1
5．课本P152随堂练习T2
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探索三角形的中位线定理时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对中位线性质定理的理解和运用．
【作业】课本P152习题6.6中的T1、T2、T3、T4.
本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线开展教学活动．在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质，然后师生通过测量和课件演示验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明．经历知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法．通过定理的探究与证明，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质．

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