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第二十一章　一元二次方程
21．1　一元二次方程
●归纳导入　如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m.若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度．
引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__ m，宽为__(20＋x)__ m．根据矩形的面积为936 m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__．
【归纳】一元二次方程是只含有__一个未知数x的整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式．
【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.
●复习导入　(教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！
【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义．
命题角度1　根据定义判断一个方程是否为一元二次方程
一元二次方程化简后的特征：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D)
A．ax2＋bx＋c＝0 B．＋x＝2
C．2x＝1 D．2＋x2＝10
(2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号)
①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－＝0.
命题角度2　利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围
根据一元二次方程的定义可以求方程中待定字母的值或取值范围．
【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则　(C)
A．a≠±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝±1
(2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__．
命题角度3　利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值
一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等．
【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C)
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
(2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__．
(3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 015的值为__2__018__．
命题角度4　根据等量关系列一元二次方程解决实际问题
寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)．
【例4】用一条长100 cm的绳子围成一个面积为128 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B)
A．x(50＋x)＝128 B．x(50－x)＝128
C．x(100＋x)＝128 D．x(100－x)＝128
高效课堂　教学设计
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．
2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．
3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
▲重点
理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．
▲难点
1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．
2．从实际问题中抽象出一元二次方程．
◆活动1　新课导入
1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？
解：如2 019＋18x＝2 020这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号)
①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.
◆活动2　探究新知
1．教材P2　问题1.
提出问题：
(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？
(2)若设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm；
(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P2　问题2.
提出问题：
(1)说说“每两个队之间比赛一场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？
(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？
(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．
学生完成并交流展示．
3．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？
◆活动3　知识归纳
提出问题：
(1)请谈谈上述方程有什么共同特点；
(2)归纳一元二次方程的概念．
1．等号两边都是__整式__，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．
提出问题：
(1)二次项系数a为什么不能为0
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？
3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__．
4．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的__根__．
◆活动4　例题与练习
例1　判断下列各方程是不是一元二次方程．
①x2－3xy＋4y2＝0；②y2＝3y＋2；③x＋－3＝0.
解：②是，①③不是．
例2　将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
例3　已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.
解：由已知得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.
练习
1．教材P4　练习第1，2题．
2．(教材P4T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(　B　)
A.1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个
3．若关于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__．
◆活动5　课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？
1．作业布置
(1)教材P4　习题21.1第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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