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第一章　特殊平行四边形
1　菱形的性质与判定
第1课时　菱形的性质
●情景导入　请同学们拿出准备好的纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，再将它展开得到一个四边形．
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的平行四边形呢？今天我们来学习这种特殊平行四边形——菱形．
【教学与建议】教学：动手操作，感知菱形特征．建议：让学生“动”起来，然后提问学生学习菱形性质要从哪几个方面着手(类比平行四边形的性质).
●置疑导入　准备四根等长的木棒拼成平行四边形(随意)，使其一边慢慢地平移．提出问题：整个变化过程中四边形是否一直是平行四边形？直到相邻两边长度相等时，四边形与原平行四边形有什么不同？
【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例．建议：感知菱形的两个关键点：①平行四边形，②一组邻边相等．
●类比导入　(1)画一个平行四边形ABCD.
(2)在AD边上截取AE＝AB，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(3)提问：四边形ABFE是平行四边形吗？它与平行四边形ABCD有什么联系，有什么区别？
【教学与建议】教学：这个导入可以类比菱形与平行四边形的区别与联系．建议：教师示范画图或者至少安排一名学生在黑板上画图．
命题角度1　利用菱形的性质求线段长或角的度数
菱形可以看成是把多边形的问题转化为三角形的问题．
【例1】如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝4 cm，则点P到BC的距离是(D)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【例2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若∠BAO＝55°，则∠ABO＝__35__°；
(2)若AB＝5，AC＝6，则BD＝__8__．
命题角度2　用菱形的性质求最小值
在菱形中求最短路线时，可借助“对称”将其转化成两点之间的最短距离问题，根据“两点之间，线段最短”，从而找到最短路线．
【例3】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)
A. B．1
C． D．2
命题角度3　利用菱形的性质进行证明
解决此类问题运用全等三角形或等量代换进行证明．
【例4】(1)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF.求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(SAS).
∴∠1＝∠2.
(2)如图，在菱形ABCD中，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.求证：∠AFD＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，DC＝BC，∠DCE＝∠BCE.
又∵CE＝CE，∴△DCE≌BCE(SAS).
∴∠CDE＝∠CBE.
∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CBE.
高效课堂　教学设计
1．理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
2．会运用菱形的性质进行简单的推理和计算．
▲重点
菱形的概念和性质．
▲难点
菱形性质的灵活应用．
A积B 0 1
0 0 0
1 0 1
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
【问题1】复习平行四边形的定义及性质．
【问题2】下面的平行四边形中，有什么共同的特征吗？
　
　
在教师指导下，由学生讨论回答，教师归纳评价．本节课我们一起走进菱形，去研究菱形的性质与判定．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】菱形的性质
1．结合以上特殊平行四边形的性质，你能给菱形一个定义吗？
归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．
3．做一做：请同学们用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题 ：
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
(2)菱形中有哪些相等的线段？
归纳：通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴互相垂直；它的四条边相等．
【探究2】
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
(多媒体出示)已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.
思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？
(2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD.说出你的想法，然后小组交流．
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(　菱形的对边相等　).
又∵AB＝__AD__，∴AB＝BC＝CD＝AD；
(2)∵AB＝AD，
∴△ABD是__等腰__三角形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝__OD__(　菱形的对角线互相平分　).
在等腰三角形ABD中，
∵OB＝OD，∴AO⊥BD.
即AC⊥BD.
归纳：
【探究3】定理的拓展延伸
通过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程，你还能发现菱形的对角线有什么性质？
方法提示：由折叠过程或等腰三角形“三线合一”推出菱形对角线的性质．
归纳：菱形的每条对角线平分一组对角．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　
(教材P3例1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
【方法指导】菱形性质的应用、勾股定理的应用．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝__AD__(　菱形的四条边相等　)，
__AC__⊥__BD__(　菱形的对角线互相垂直　)，
OB＝OD＝__BD__＝__×6__＝__3__(　菱形的对角线互相平分　).
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是__等边__三角形，
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝____＝____＝__3__，
∴AC＝__2OA__＝__6__(　菱形的对角线互相平分　).
例2　
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.
求证：DE＝BE.
【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝BE.
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.
∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴DE＝BE.
◆活动4　随堂练习
1．下列性质中，菱形不一定具有的性质是(C)
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
2．教材P4随堂练习
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD.
在Rt△AOB中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，
由勾股定理，得OB＝＝＝3(cm)，
∴BD＝2OB＝6(cm).
3．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，对角线AC与BD相交于点O，AC＝5 cm.
(1)∠BAC＝__60°__，∠ABC＝__60°__；
(2)对角线BD＝__5__．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
教学说明：1.菱形的性质定理：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直．
2．菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决．
作业：课本P4习题1.1中的T2、T3、T4.
本节课重在探索菱形的性质．在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，学会菱形的实际应用．

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