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六大超越函数
+=(1+x)
令=0，则x=-1
当x,-1)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（-1，）
图像如图所示：
=
令=0，则x=1
当x1)时，0，单调递增，
当x,)时，0，单调递减.
拐点：（1，）
（x≠0）
=
令=0，则x=1
当x0),(0,1)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（1，）
f(x)=xlnx（x＞0）
=
令=0，则x=
当x(0,)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（）
5、f(x)=（x＞0且x≠1）
=
令=0，则x=
当x(0,),(1,e)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（）
6、f(x)=（x＞0）
=
令=0，则x=
当x(0,)时，0，单调递增，
当x,)时，0，单调递减.
拐点：（）
例题应用：
已知函数y=lnx-ax有两个零点，求a的取值范围.
分析：函数y=lnx-ax有两个零点利用参变分离可转化为y=与y=a两个函数图像有两个交点问题.
如图，当a时，y=与y=a有两个交点，即：函数y=lnx-ax有两个零点.
拓展：讨论函数y=lnx-ax的零点个数.
当a≤0时，函数y=lnx-ax有一个零点；
当时，y=与y=a有两个交点，即：函数y=lnx-ax有两个零点；
当a=时，函数y=lnx-ax有一个零点；
当a＞时，函数y=lnx-ax无零点.
变式：已知函数y=x-mlnx有两个零点，求m的取值范围.
分析：（方法一）函数y=x-mlnx有两个零点利用参变分离可转化为y=与y=两个函数图像有两个交点问题.（即：令=a）从而得到，所以m＞e.
（方法二）利用参变分离转变成y=与y=两个函数图像有两个交点问题，如图，当m＞e时，函数y=与y=两个函数图像有两个交点，即函数y=x-mlnx有两个零点.
例2：已知且，且，且，则
( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及比较大小，属于中档题．
令，利用导数研究其单调性后可得的大小．
【解答】方法一：
解：因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以．
故选A．
方法二：
∵，，
∴可转化为，即：,,.
又∵，，
∴由的图像可知：a,b,c只能在x=1的左侧且大于0，
∵＞＞.
∴＞＞.
∴a＞b＞c
综上：．
例3、已知函数，是的导函数．求的极值；
分析：利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
【答案】方法一：解：因为，所以，
令，得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而有极大值，极大值为，无极小值；
方法二：由图可知无极小值，有极大值且极大值为.
其他函数均同理.六大超越函数图像及其应用
证明：+=(1+x)
令=0，则x=-1
当x-1)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（-1，）
图像如图所示：
证明：=
令=0，则x=1
当x1)时，0，单调递增，
当x,)时，0，单调递减.
拐点：（1，）
（x≠0）
证明：=
令=0，则x=1
当x0),(0,1)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（1，）
f(x)=xlnx（x＞0）
证明：=
令=0，则x=
当x(0,)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（）
5、f(x)=（x＞0且x≠1）
证明：=
令=0，则x=
当x(0,),(1,e)时，0，单调递减，
当x,)时，0，单调递增.
拐点：（）
6、f(x)=（x＞0）
证明：=
令=0，则x=
当x(0,)时，0，单调递增，
当x,)时，0，单调递减.
拐点：（）
例题应用：
已知函数y=lnx-ax有两个零点，求a的取值范围.
拓展：讨论函数y=lnx-ax的零点个数.
变式：已知函数y=x-mlnx有两个零点，求m的取值范围.
例2：已知且，且，且，则
( )
A. B. C. D.
例3、已知函数，是的导函数．求的极值；
其他函数均同理.

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