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第二单元第4课时因数和倍数
(
板块一：知识精讲
)
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
(
板块二：典题精练
)
一．选择题（共7小题）
1．已知a÷b＝c（a，b，c都是大于0的自然数），那么下面说法正确的是（　　）
A．a是倍数 B．b是因数
C．c是因数 D．b，c都是a的因数
2．一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（　　）
A．8 B．24 C．48 D．96
3．下面每组数中，有因数和倍数关系的是（　　）
A．4.5和0.5 B．6和1.5 C．17和4 D．8和72
4．8的所有因数的和是（　　）
A．13 B．14 C．15
5．丽丽买了一种文具，付了20元，找回2元，她买的文具不可能是（　　）
A．铅笔2元 B．橡皮3元 C．尺子4元 D．铅笔刀9元
6．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（　　）是完全数。
A．8 B．28 C．36 D．49
7．如果自然数x＝3×5，那么x一共有（　　）个因数。
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共7小题）
8．6的因数有 　 　，20以内8的倍数有 　 　。
9．因为21÷3＝7，所以3是 　 　的因数，21是7的 　 　数。
10．一个数的因数的个数是 　 　的．一个数的倍数的个数是 　 　的．
11．18的因数有 　 　个，倍数有 　 　个，最大的因数是 　 　，最小的倍数是 　 　。
12．6×x＝y（x、y都是非0自然数），　 　和 　 　都是 　 　的因数； 　 　是 　 　和 　 　的倍数。
13．5×7＝35，所以 　 　是5的倍数，　 　是35的因数。
14．一个合数的所有因数的和是12，这个数的最小倍数是 　 　。
三．判断题（共6小题）
15．一个数最小的倍数应该是这个数本身．　 　．（判断对错）
16．a是b的5倍，那么我们就可以说a是b的倍数。 　 　（判断对错）
17．因为12÷0.3＝40，所以12是0.3的倍数，0.3是12的因数。 　 　（判断对错）
18．63÷7＝9，所以63是倍数，7是因数。 　 　（判断对错）
19．因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数。 　 　（判断对错）
20．2.1÷0.7＝3，所以2.1是0.7的倍数，0.7是2.1的因数。 　 　（判断对错）
四．计算题（共2小题）
21．你能分别说出下面各数的因数吗？
10 12 15 23 24 30 49
22．根据下面的算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
7×6＝42 13×5＝65 21×4＝84
56÷8＝7 63÷3＝21 72÷12＝6
五．操作题（共2小题）
23．画一画．
青蛙跳的是4的倍数，小猴跳的是20的因数，请你用不同颜色的笔分别画出青蛙和小猴跳跃的路线．
24．你会在圈内添上合适的数吗？
六．应用题（共7小题）
25．42个苹果分给若干个小朋友，每人分得同样多（但不能一次全部分完），正好分完没有剩余，共有多少种分法？每种分法中每人各分得几个苹果？
26．五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10可以分成几组？
27．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包，红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？
28．有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？
29．学校开展“大课间”活动，要把同学们分成人数相等的几个小组．五（1）班有48人，要求每组4～12人，可以怎样分组？
30．小明的妈妈进来75个柚子，想包装成盒后再卖，有多少种包装法？
填一填：
盒数
个数
75的因数有：　 　．
31．有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？
第二单元第4课时因数和倍数
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】D
【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
【解答】解：已知a÷b＝c（a，b，c都是大于0的自然数），则b、c都是a的因数；
故选：D．
【分析】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可．
2．【答案】C
【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数。据此解答。
【解答】解：一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是48。
故选：C。
【分析】此题考查的目的是理解掌握找一个的因数、倍数的方法及应用。
3．【答案】D
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：因为72÷8＝9，且都是整数，所以8和72有因数和倍数关系。
故选：D。
【分析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
4．【答案】C
【分析】首先写出8的所有因数，再相加即可。
【解答】解：8的因数有1、2、4、8。
1+2+4+8
＝3+12
＝15
答：8的所有因数的和是15。
故选：C。
【分析】熟练掌握找一个数因数的方法是解题的关键。
5．【答案】C
【分析】用20减去2，求出买文具花的钱数；再用买文具的钱数除以每个文具的价钱，若能除尽，则可能买这种文具；若除不尽，则不可能买这种文具。
【解答】解：20﹣2＝18（元）
A．18÷2＝9（支），可能买9支铅笔；
B．18÷3＝6（块），可能买6块橡皮；
C．18÷4＝4……2，不可能买尺子；
D．18÷9＝2（个），可能买2个铅笔刀。
故选：C。
【分析】此题考查的目的是理解整数减法的意义、“包含”除法的意义及应用，以及单价、数量、总价三者之间的关系及应用。
6．【答案】B
【分析】根据完全数的特点“一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身”，可先列举出各个选项的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【解答】解：A.8的因数有：1、2、4、8，1+2+4＝7，7≠8，所以8不是完全数。
B.28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，所以28是完全数。
C.36的因数有：1、2、4、6、9、18，1+2+4+6+9+18＝41，41≠36，所以36不是完全数。
D.49的因数有1、7、49，1+7＝8，8≠49，所以49不是完全数。
故选：B。
【分析】此题考查的目的是需理解完全数的概念，并能熟练掌握求一个数因数的方法。
7．【答案】C
【分析】根据因数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大因数是它本身。再根据求一个数的因数的方法解答。
【解答】解：3×5＝15
15的因数有1、3、5、15。
答：x一共有4个因数。
故选：C。
【分析】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法及应用。
二．填空题（共7小题）
8．【答案】1、2、3、6；8、16。
【分析】根据找一个数因数的方法，找出6的所有因数即可；根据找一个数倍数的方法，列举出20以内8的倍数即可。
【解答】解：6的因数有1、2、3、6，20以内8的倍数有8、16。
故答案为：1、2、3、6；8、16。
【分析】此题是一道有关倍数、因数的题目，解答的关键是掌握找一个数的倍数和找一个数因数的方法。
9．【答案】21，倍。
【分析】如果a÷b＝c（a、b、c均是正整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。据此解题。
【解答】解：因为21÷3＝7，所以3是21的因数，21是7的倍数。
故答案为：21，倍。
【分析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
10．【答案】见试题解答内容
【分析】一个数的倍数最小是它的本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的；一个数的约数最小是1，最大是它本身，约数的个数是有限的，由此解答即可．
【解答】解：一个数的因数的个数是有限的．一个数的倍数的个数是无限的；
故答案为：有限，无限．
【分析】此题考查因数与倍数的意义，一个数的倍数的个数是无限的，一个数的因数的个数是有限的．
11．【答案】6，无数，18，18。
【分析】根据因数和倍数的意义及找一个数的因数和倍数的方法即可解答。
【解答】解：18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，18的倍数有18、36、54……无数个，可见18最大的因数是18，最小的倍数是18。
故答案为：6，无数，18，18。
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，一个数的因数个数是有限的，而倍数个数是无限的。
12．【答案】6，x，y，y，6，x。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：6×x＝y（x、y都是非0自然数），6和x都是y的因数；y是6和x的倍数。
故答案为：6，x，y，y，6，x。
【分析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
13．【答案】35，5和7。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：5×7＝35，所以 35是5的倍数，5和7是35的因数。
故答案为：35，5和7。
【分析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
14．【答案】6。
【分析】6是合数，6的因数有：1、2、3、6，且：1+2+3+6＝12，所以这个合数是6，根据一个数的最小倍数是它本身；由此解答即可。
【解答】解：一个合数的所有因数的和是12，这个数的最小倍数是6。
故答案为：6。
【分析】此题考查了找一个数因数的方法，明确一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。
三．判断题（共6小题）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“一个数的最大约数是它本身，最小倍数是它本身”进行解答即可．
【解答】解：一个数最小的倍数应该是这个数本身，说法正确；
故答案为：√．
【分析】此题考查了因数和倍数的意义，应明确：个数的最大约数是它本身，最小倍数是它本身．
16．【答案】×
【分析】倍数和因数必须在整除（整数除以不为0的整数，商是整数，没有余数）的前提下，才可以说一个数是另一个数的倍数，另一个数是一个数的因数，由此进行判断。
【解答】解：a是b的5倍，那么我们就可以说a是b的倍数，说法错误，因为前提是：必须在整除（整数除以不为0的整数，商是整数，没有余数）的前提下。
故答案为：×。
【分析】此题考查了整除的意义，整除是整数除以不为0的整数，商是整数，没有余数，在此前提下，才有倍数和因数的关系。
17．【答案】×
【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答。
【解答】解：12÷0.3＝40，只是12能被0.3除尽，不是整除；
倍数是相对应整数而言的，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【分析】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内。
18．【答案】×
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【解答】解：63÷9＝7，只能说63是9的倍数，9是63的因数，因数和倍数不能单独存在。
故答案为：×。
【分析】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答；应明确因数和倍数是相互依存，不能单独存在。
19．【答案】√
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答。
【解答】解：因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数，说法正确。
故答案为：√。
【分析】掌握因数和倍数的意义是解题的关键。
20．【答案】×
【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答。
【解答】解：2.1÷0.7＝3，只是2.1能被0.7除尽，不是整除；
倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非0自然数范围内，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【分析】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内。
四．计算题（共2小题）
21．【答案】1，2，5，10；1，2，3，4，6，12；1，3，5，15；1，23；1，2，3，4，6，8，12，24；1，2，3，5，6，10，15，30；1，7，49。
【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身。
【解答】解：10＝1×10＝2×5
10的因数有：1，2，5，10。
12＝1×12＝2×6＝3×4
12的因数有：1，2，3，4，6，12。
15＝1×15＝3×5
15的因数有：1，3，5，15。
23＝1×23
23的因数有：1，23。
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。
30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。
49＝1×49＝7×7
49的因数有：1，7，49。
【分析】此题需要学生掌握求一个数因数的方法。
22．【答案】6和7是42的因数，42是6和7的倍数；
13和5是65的因数，65是13和5的倍数；
21和4是84的因数，84是21和4的倍数；
8和7是56的因数，56是8和7的倍数；
3和21是63的因数，63是3和21的倍数；
6和12是72的因数，72是6和12的倍数。
【分析】甲数能被乙数整除，说明甲数是乙数的整数倍；整数甲除以整数乙（乙数不为0）的商正好是整数而没有余数，称乙数是甲数的因数，据此解答。
【解答】解：6和7是42的因数，42是6和7的倍数；
13和5是65的因数，65是13和5的倍数；
21和4是84的因数，84是21和4的倍数；
8和7是56的因数，56是8和7的倍数；
3和21是63的因数，63是3和21的倍数；
6和12是72的因数，72是6和12的倍数。
【分析】本题考查因数和倍数的意义。
五．操作题（共2小题）
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据找一个数因数的方法和找一个数倍数的方法，分别找出4的倍数和20的因数，然后标出即可．
【解答】解：
【分析】明确找一个数因数和倍数的方法，是解答此题的关键．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据找一个数的因数的方法和倍数的方法，进行例举即可．
【解答】解：
【分析】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数、倍数的方法，
六．应用题（共7小题）
25．【答案】共有7种分法，每种分法中每人各得1、2、3、6、7、14、21个苹果。
【分析】42个苹果分给若干个小朋友，每人分得同样多（但不能一次全部分完），正好分完没有剩余，要求有多少种分法，用找一个数因数的方法解答即可。
【解答】解：42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，有8种分法，但是不能一次全部分完，就不能把42个苹果分给一个小朋友，所以有7种分法。
1.每人分1个，分给42个小朋友。
2.每人分2个，分给21个小朋友。
3.每人分3个，分给14个小朋友。
4.每人分6个，分给7个小朋友。
5.每人分7个，分给6个小朋友。
6.每人分14个，分给3个小朋友。
7.每人分21个，分给2个小朋友。
答：共有7种分法，每种分法中每人各得1、2、3、6、7、14、21个苹果。
【分析】本题考查找一个数因数方法的应用。
26．【答案】6组、9组。
【分析】根据题干可知：分成人数相等的若干小组（组数和每组人数都不少于3），只要求出54的因数中大于3的即可解决问题。
【解答】解：组数大于3，小于10。
54＝3×18
54＝6×9
因为组数大于3，小于10，所以可以分成6组、9组。
答：可以分成6组、9组。
【分析】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
27．【答案】9元或63元。
【分析】首先根据找一个数的倍数的方法，可得9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63……，然后根据一个数的因数最大是它本身，判断出中9、18、27、36、45、54、63哪些是63的因数即可。
【解答】解：9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63……
因为63÷9＝7，63÷63＝1；
所以9、63既是63的因数，又是9的倍数。
答：爸爸给乐乐发的红包可能是9元或63元。
【分析】此题主要考查了找一个数的因数、倍数的方法，要熟练掌握。
28．【答案】3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
【分析】因为是平均分成若干组，故每组人数相同，所以48能被每组人数整除，也就是找48的因数，即1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，舍去小于3，大于20的部分，即可解答。
【解答】解：48＝1×48
48＝2×24
48＝3×16
48＝4×12
48＝6×8
因为每组人数至少3人，最多不超20人，所以可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
答：可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
【分析】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
29．【答案】见试题解答内容
【分析】根据找一个数因数的方法解答即可．
【解答】解：48÷4＝12（组）；48÷6＝8（组）；48÷8＝6（组）；48÷12＝4（组）．
答：可以分12组，每组4人；可以分8组，每组6人；可以分6组，每组8人；可以分4组，每组12人．
【分析】掌握求一个数的因数的方法，是解答此题的关键．
30．【答案】见试题解答内容
【分析】先把75拆成两个数的积，再找到75的因数即可．
【解答】解：
盒数 1 3 5 15 25 75
个数 75 25 15 5 3 1
75的因数有：1、3、5、15、25、75．
故答案为：1、3、5、15、25、75．
【分析】此题考查了找一个数的因数的方法，可一对一对的找．
31．【答案】3本、4本、12本。
【分析】根据题干可知：只要求出60的因数有哪些即可解决问题。
【解答】解：60÷3＝20
60÷4＝15
60÷8＝7……4
60÷12＝5
3，4，12都是60的因数，所以选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
答：选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
【分析】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的灵活应用。

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